Schau mal; der Schorsch hat ein gutes Herz. Der erklärt es für die Doofen. Doch dafür zahlst du auch einen hohen Preis. Der bürdet dir sage und schreibe drei Unbekannte auf - Mahlzeit ...
Mein erster Ansatz kommt mit zwei Unbekannten aus - je weniger Unbekannte, desto besser. Ist dir jemals aufgefallen, dass jede Parabel eine Symmetrieachse besitzt? Da auf Pipapo das alle wussten, darf ich wohl annehmen, dass es eine Menge Lehrer gibt, die das ihren Schülern auch sagen. Denn das hatte ich schnell raus
1) Was die schüler gesagt kriegen
2) Was ihnen die Lehrer verschweigen
3) was die Pauker selbst nicht mal wissen
Also Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Jede Parabel verläuft Achsen symmetrisch. "
Hier du weißt doch. Gerade in der Geometrie ist der Schüler im Vorteil, der etwas SIEHT .
Aus Aussage ( 1 ) folgt, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen P und Q liegt - also bei x0 = 0 . Jetzt wäre wünschenswert, dass du in FRS die sog. " Scheitelpunktform " ( SPF ) einer Parabel eingetragen hast - oder du lernst sie einfach auswändig. ( In dem Forum Pipapo konnte das wirklich jeder; du bist nicht " jeder " ; ich weiß. )
Meine Gleichung ( 2 ) entspricht nämlich genau der allgemeinen SPF für Scheitel x0 = 0 - überzeuge dich selbst davon.
Der Vorteil springt in die Augen. Auch die SPF kennt drei Unbekannte - bei der Parabel hast du ja immer drei Unbekannte. Nämlich den ===> Leitkoeffizienten a so wie die Koordinaten x0 und y0 = b des Scheitels . ( Ich habe es b genannt; y0 wäre vielleicht doch besser gewesen. )
die SPF kommt aber immer dann zum Einsatz, wenn du dir anderweitig den Scheitel x0 schon geschnitzt hast. Durch unsere listige Symmetriebetrachtung verbleiben effektiv nur noch zwei Unbekannte a und b .
Das " Knoff hoff " hinter dem ganzen Verfahren siehst du übrigens sofort, wenn du einmal versuchst, die drei Punlte P , Q und R in ( 2 ) einzusetzen. Zwei Unbekannte - zwei Bedingungsgleichungen . Es stellt sich nämlich heraus, dass dir Q nichts Neues gibt; die Gleichungen für P und Q sind identisch .
Ich geh jetzt mal davon aus, dass du verstehst, wie man das LGS ( 3ab ) auflöst. Genau hier macht sich nämlich Intellent bezahlt; die Gleichungen werden einfacher. Weniger Unbekannte - weniger Möglichkeiten, Fehler zu machen.
Und jetzt kommt ein Faktor ins Spiel - die Genialität . Ich selbst bin nur ein Genie der zweiten Reihe . Genies der ersten garnitur kriegen die Fieldsmedaille; Genies der zweiten Reihe arbeiten für Matelounge ...
Wäre wünschenswert, wenn ihr in der Schule schon den ===> Satz vom Nullprodukt ( SNP ) hattet. Wenn nicht - trotzdem notieren für FRS . Stell dir vor du hast ein ===> Polynom sechsten Grades ( kann also höchstens sechs Nullstellen haben ) mit den sechs Wurzeln
x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3 ; x4 = 123 ; x5 = 456 ; x6 = 4 711 ( 2.1a )
Und jetzt fordere icn dich auf, dieses Polynom hinzuschreiben. Zugegeben; nach meinen einschlägigen Erfahrungen aus Pipapo scheitern hier schon 70 % der Schüler . Ich schreibs dir mal hin
f ( x ) = a ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 123 ) ( x - 456 ) ( x - 4 711 ) ( 2.1b )
Weil der SNP sagt, das Dings kann nur Null werden, wenn eine der Klammern, einer der ===> Linearfaktoren Null wird . Wenn man das weiß, kanjn man deine Aufgabe noch ganz anders angehen. ( Notfalls frag mal deinen Nachhilfetutor. )
Alle Mathematik beruht auf der Suche nach Aussagen, dass der Sonderfall immer schon der allgemeinste Fall ist. Du suchst nacb einem Dreieck, dessen Winkelsumme 180 ° beträgt? Nicht nur ein Dreieck; alle Dreiecke haben diese Eigenschaft ( die also gar nicht so speziell ist, wie sie sich für den Neuling anhört. )
Genau so hier. Haben wir erst die Nullstellen deiner Parabel, können wir mit Erfolg den SNP anwenden. Der Sondrfall mit den zwei Nullstellen ( Knoten ) ist bereits der allgemeine Fall.
Schau nochmal in ( 1.1 ) Wieder musst du etwas sehen. Ausgesagt ist:
f ( P ) = f ( Q ) Aber du brauchst doch den Plot dieser Parabel nur EINE EINHEIT auf der Ordinate nach Unten zu ziehen . In ( 1.6a ) sage ich: Von der Funktion f ziehe ich Eins ab. In ( 1.6b ) sage ich: Von der y-Koordinate der drei Punkte P , Q und R ziehe ich auch Eins ab. Das ganze Bild rutscht eine Einheit nach Unten. Und Abrakadabra wie von Zauberhand sind P und Q auf einmal Nullstellen. Beachte den SNP ; ( 1.7a ) ist die Nullstellenform der Parabel entsprechend ( 2.1b )
( Als Student brauchte ich sehr viel Geld für Konzerte und meine Freundin. Da bewarb ich mich beim studentischen Schnelldienst um die ausgeschriebenen Nachhilfen für Mathe / Physik. Wenn sie nur immer so mitgearbeitet hätten; während meiner Zeit habe ich noch jeden von 5 auf 1 gebracht. Ich versuche dir den Unterschied zu vermitteln zwischen dem, was wichtig und was unwichtig ist, )
Der Erfolg ist mitz Händen zu greifen. Setz mal P , Q und R ein in ( 1.7a ) P und Q sind ja bereits durch den Ansatz erfüllt; bleibt nur noch R , um a rauszukriegen.
Und als Letztes hatte ich dir noch eine kleine Hausaufgabe gegeben. Wir suchen ja nicht die Funktion " groß F " , sondern " klein f " - sprich: Du musst die Parabel anschließend, nachdem du sie berechnet hast, auch wieder eine Einheit nach Oben verschieben. Was rauskommen muss, weißt du ja schon.
Ach übrigens; ich werde hier immer angemault, meine Antworten seien ermüdend lang. Offenbar nicht; ich hatte durchaus das gefühl, ich hätte bereits alles Wesentliche gesagt. Was mir vorgeworfen wurde, scheint mir genau das zu sein: " Ermüdende " Einschübe und Unterroutinen, die aber doch für einen Schüler wichtig zu sein scheinen, sich in der Materie zu Recht zu finden.
