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lim┬(n→∞)⁡ √2  n∙√(1-cos⁡ 2π/n ) = 2π

\( \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{2} · n · \sqrt{1 - \cos (\frac{2π}{n})} = 2π \)

Warum erhält man 2 pi als Grenzwert? Wie kann man das mit analytischen Mitteln bzw. Umformungen beweisen?

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3 Antworten

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mit Taylor Entwicklung:

für n --->∞ geht das Argument des COS gegen 0, also gilt dann

COS(2π/n)≈1-(2π/n)^2/2

Einsetzen :

√2  n∙√(1-cos⁡ 2π/n ) ≈√2  n∙√( (2π/n)^2/2)

=  n∙(2π/n)=2π

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du kannst das ganze auch wiederum etwas umschreiben.


Mir selbst war die Wurzelform etwas lästig und habe deswegen versucht den inneren Ausdruck zu umschreiben. Zunächst habe ich mit dem Additionstheorem des Kosinus gearbeitet und es hat sich kollussal vereinfacht.

$$ \cos\Big(\frac{2\pi}{x} \Big)=\cos\Big(\frac{\pi}{x}+\frac{\pi}{x} \Big) =\cos\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\cdot\cos\Big(\frac{\pi}{x} \Big)-\sin\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\cdot\sin\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\\=\cos^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)-\sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big) \quad (1)$$Ferner gilt auch:

$$ 1=\sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)+\cos^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\quad (2) $$

Dann erhält man nun:

$$ \cos\Big(\frac{2\pi}{x} \Big)=\cos^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)-\sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\stackrel{(2)}{=}\underline{1-2\cdot \sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)}\quad (*) $$

Nun betrachten wir damit den Limes :

$$ \lim_{x \to \infty} \sqrt{2}\cdot x\cdot \sqrt{1-\cos\Big(\frac{2\pi}{x} \Big)}\stackrel{(*)}{=}\lim_{x \to \infty} \sqrt{2}\cdot x\cdot \sqrt{1-\Big(1-2\cdot \sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\Big) \Big)}\\=\lim_{x \to \infty} \sqrt{2}\cdot x\cdot \sqrt{2\cdot \sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big) \Big)}=\lim_{x \to \infty} 2\cdot x\cdot \sin\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\\ \stackrel{(**)}{=}\lim_{y \to 0}2\cdot \frac{1}{y}\cdot \sin(\pi\cdot y)=\lim_{y \to 0}\frac{2 \cdot \sin(\pi\cdot y)}{y}\\ \stackrel{L'H}{=}\lim_{y \to 0}2\cdot\pi\cdot \cos(\pi\cdot y)=\underline{\underline{2\cdot \pi }}$$

(**) Ein einfacher Trick, um dennoch einen Ausdruck zu schaffen, der gegen ,,∞'' geht.

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Hallo

 mein erster ersuch wäre L#Hopital mit x=1/n , x->0 oder x=n, x->00

Gruß lul

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Hallo lul,
wer soviel Wert auf Kurzhinweise mit Nachfragen der Fragesteller legt wie du, sollte wohl auch auf deren Nachfragen reagieren:

https://www.mathelounge.de/557275/partielle-ableitungen-von-f-x-y-2-y-xy-2-2-y-2-falls-x-y-0-0-0-sonst

Gruß Wolfgang

Warum sollte man das tun? Der Stern ist doch dort schon vergeben.

Das wäre ja Aufwand ohne zusätzlichen Punkteertrag..........

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