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$$f(x,y)=\frac{x^2y+xy^2}{x^2+y^2}falls(x,y)≠(0,0)$$

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Für diese Funktion soll ich die Partiellen Ableitungen δ und δy berechnen für alle (x,y) ∈R^2.

Die Partiellen Ableitungen für x und y habe ich berechnet, für den Fall, dass (x,y) ≠ (0,0) ist. Ist ja einfach der erste Term mit Quotientenregel abgeleitet. Wie muss ich das jetzt genau für (0,0) machen ?

MfG

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Beste Antwort

Hallo

 Gruß lul

für 0,0 musst du den GW des Differentialquotienten berechnen,

Beantwortet von 7,1 k

Dann auch zwischen x und y = 0 Unterscheiden ? Es lautet ja:

limx->0 $$\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x-0}$$ oder ? Und dann nochmal für y = 0?


Vielen Dank für die Schnelle Antwort!

Die funktion sei angeblich NICHT stetig Partiell differenzierbar, allerdings bekomm ich bei meiner Rechnung oben doch auf 0 als Grenzwert.

Wo liegt mein Fehler ?

MfG

+3 Daumen

Hallo,

Die Funktion sei angeblich NICHT stetig partiell differenzierbar

partielle Ableitungen können durchaus existieren, aber selbst nicht stetig sein. In solchen Fällen ist die Funktion nicht stetig partiell differenzierbar.

Für  (x,y) ≠ (0,0)  kann man die partielle Ableitung \(\frac { ∂f }{ ∂x }\) einfach mit der Quotientenregel ausrechnen:$$\frac { ∂f }{ ∂x }(x,y)=-\frac { y^2·(x^2-2xy-y^2) }{ (x^2+y^2)^2 }$$Betrachtet man nun für diesen Term die Folgen (1/n , 1/n)  und (1/n , 2/n), die [für n→∞] beide gegen (0,0) streben, so ergeben sich sich beim Einsetzen in \(\frac { ∂f }{ ∂x }(x,y)\) die verschiedenen GW  1/2 bzw. 28/5

\(\frac { ∂f }{ ∂x }\) kann also in (0,0) nicht stetig sein
und damit ist f sicher nicht stetig partiell differenzierbar.

Gruß Wolfgang

Beantwortet von 75 k

Dann muss ich also gar nicht den Grenzwert vom Diff.Quot. anwenden ?  Denn dabei komm ich ja auf null und das ist doch stetig.

Wenn dieser GW exisitert, ist f  an der betreffenden Stelle partiell  differenzierbar.

Wenn diese partielle Ableitung aber - wie hier - an einer Stelle nicht stetig ist, ist f nicht stetig partiell differenzierbar.

Ja das habe ich verstanden, danke.

Aber ich dachte, man muss den Differenzenquotienten benutzen um die Ableitung IN (0,0) zu bekommen.

Das ist auch richtig.

Aber komme ich dann nicht auf 0 mit dem oben genannten Argument ? Wenn ich erst betrachte, dass x gegen 0 geht und danach y ?

Ist denn der Differenzenquotient nicht einfach 0 ?


limx->0  ($$\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x-0}$$)

Nein. Da hast du die falsche Antwort als beste Antwort ausgezeichnet.

Lies die Antwort von Wolfgang ganz genau. 

Habe ich, aber heißt das, dass man den DQ gar nicht benötigt für diese Aufgabe ?

Nein, es reicht mit den bekannten Ableitungsregeln zuarbeiten.

Den DQ braucht man nur in  ganz schlimmen Fällen.

Aber wieso genau nicht in diesem ? Ich hab das eigentlich schon so gelernt, dass man in solchen "kritischen Punkten" wie der 0 hier den DQ nutzen sollte ? Der ja glaub ich 0 wäre.

Was ist denn dann bitte die partielle Ableitung im Punkt (0,0)?

Was ist denn dann bitte die partielle Ableitung im Punkt (0,0)?

Die partielle Ableitung gibt es da nicht. Allenfalls die partielle Ableitung nach x oder dann halt nach y. Aber auch das ist nicht sicher, bevor man das untersucht hat.

Nach Definition der Funktion ist \(f(x,0)=0\) fuer alle \(x\) und \(f(0,y)=0\) fuer alle \(y\). Daraus folgt \(f_x(x,0)=0\) fuer alle \(x\) und \(f_y(0,y)=0\) fuer alle \(y\). Speziell also \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\). Du kannst das auch explizit mit den Differenzenquotienten im Nullpunkt ausrechnen. Musst sie bloss richtig hinschreiben (nicht so wie in Deinem Kommentar oben).

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  ===>  Johann Sebastian; Kaffeekantate

   " Was ich immer alle Tage

     Meiner Tochter Lieschen sage / Gehet ohne Frucht vorbei. "

     Quotientenregel  (  QR  )  Absolut  TÖDLICH ist die; ihr müsst sie meiden wie die Pest. Und das sage ich euch bereits bei einer Funktion von einer Veränderlichen .

   Wen willst du damit beeindrucken, dass du sagst, die QR sei " einfach "

   Einfach schon mal gar nicht. Doch; es gibt so etwas wie psychopatische Metoden in der Matematik. Von Heisenberg stammt ja der Satz

   " Die Schönheit matematischer Systeme erschließt sich dem Laien nicht. "

   Die QR kann er damit nicht gemeint haben ...

   Das Argument, das bisher jeden überzeugt hat. Die falsche Asymptotik der  QR  .

   Die Ableitung eines Pols der Ordnung 4 711 ergibt einen Pol der Ordnung 4 712 .

     Aber der v  ²   Term im Nenner der QR  suggeriert einen Pol der Ordnung 9 422 .

   Bringen wir doch erst mal alles auf ganz rationale Form:


   (  x  ²  +  y  ²  )  f  =  x  ²  y  +  x  y  ²        (  1  )


    Jetzt  ===>  implizites Differenzieren; Ableiten nach x mittels Produkt_und Kettenregel


  (  x  ²  +  y  ²  )  f_x  +  2  x  f  =  2  x  y  +  y  ²        (  2  )


    Jetzt Polarkoordinaten einsetzen   in  (  2  )


      x  =:  r  cos  (  ß  )  ;  y  =:  r  sin  (  ß  )      (  3a  )


    r ² f_x ( x : y ) + 2 r f ( x ; y ) cos ( ß ) = r ² [ sin ( 2 ß ) + sin ² ( ß ) ]  |  :  r  ²    (  3b  )

     f_x ( x : y ) + ( 2/r )  f ( x ; y ) cos ( ß ) = sin ( 2 ß ) + sin ² ( ß )    (  3c  )


   Es ist absehbar, dass es schief geht; die rechte Seite von ( 3c ) hängt ausschließlich vom Azimutwinkel ß ab und wird daher im Ursprung mehrdeutig bis Undefiniert.

   Und die Funktion f geht im Zähler mit r ³ , im Nenner mit r ² . Per Saldo also mit r ^ 1  ; und genau diese r-Abhängigkeit kürzt sich heraus auf der linken Seite von ( 3c ) wir haben lauter undefinierte Ausdrücke. 

Beantwortet von 5,5 k

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