Ich habe folgende Idee:
Im gleichen Maße, wie das Ausgangsnuklid A zerfällt, entsteht dessen Zerfallsprodukt B. Dieses unterliegt aber selber auch wieder dem Zerfall, allerdings mit einer längeren Halbwertszeit. Daher wird zunächst ein Zuwachs des Zerfallsproduktes B stattfinden, der aber bei abnehmender Menge des Ausgangsnuklids A immer geringer wird und zu einem bestimmten Zeitpunkt t durch den Zerfall des Zerfallsproduktes B kompensiert wird. Von da an wird die Menge des Zerfallsproduktes wieder abnehmen.
Es wird also einen Zeitpunkt t geben, an dem die vorhandene Menge des Produktes B und damit auch die Intensität seiner Strahlung am größten ist. Dieser Zeitpunkt ist zu bestimmen. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe.
Die Schwierigkeit besteht hier wohl darin, die Funktion aufzustellen, die die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge des Produktes B beschreibt.
Aber: So schwierig ist das auch wieder nicht ....
Der Zerfall des Ausgangsnuklids A geschieht exponentiell nach einer Funktion der Form
A ( t ) = A0 * e - kA * t
Da die Halbwertszeit tA von A bekannt ist, kann man den Zerfallsfaktor kA berechnen:
A ( t ) = ( 1 / 2 ) * A0 = A0 * e - kA * tA
<=> 1 / 2 = e - kA * tA
<=> ln ( 1 / 2 ) = - kA * tA
<=> ln ( 1 / 2 ) / - tA = kA
Mit tA = 22,5 Tage ergibt sich:
<=> ln ( 1 / 2 ) / - 22,5 = kA = 0,03080654...
sodass also für die Zerfallsfunktion von A ergibt:
A ( t ) = A0 * e - 0,03080654 * t
Im gleichen Maße, wie A zerfällt, entsteht B. Würde B nicht ebenfalls zerfallen, so wäre die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge B also einfach gegeben durch:
MB ( t ) = A0 - A ( t ) = A0 - A0 * e - 0,03080654 * t = A0 * ( 1 - e - 0,03080654 * t )
Allerdings zerfällt auch B exponentiell mit der Halbwertszeit t B = 33 Tage, sodass sich für die Zerfallskonstante k B ergibt:
kB = ln ( 1 / 2 ) / - 33 = 0,02100446...
Die Zerfallsfunktion von B ist also:
B ( t ) = B(0) * e - 0,02100446 * t
Nun ist aufgrund des Entstehungsprozesses von B die Menge B(0) nicht konstant vorgegeben sondern abhängig vom Zeitpunkt t gemäß der oben bestimmten Funktion MB ( t ). Daher muss hier für B(0) diese Funktion MB ( t ) eingesetzt werden.. Man erhält:
B ( t ) = MB ( t ) * e - 0,02100446 * t = A0 * ( 1 - e - 0,03080654 * t ) * e - 0,02100446 * t
Die Funktion B ( t ) beschreibt nun also welche Menge des Produkts B zu jedem Zeitpunkt t vorhanden ist.
Nun muss geprüft werden, ob die Funktion B ( t ) ein Maximum hat und an welcher Stelle t es ggf. liegt.
Dazu kann man zunächst den Verlauf dieser Funktion betrachten, um sich ein Bild zu verschaffen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=exp%28-+0.03080654+*+t%29+%2C+1+-+exp%28-+0.03080654+*+t+%29+%2C+%28+1+-+exp%28-+0.03080654+*+t+%29+%29+*++exp%28-+0.02100446+*+t%29from0to100
(Dabei habe ich die A0, also die Ausgangsmenge von A gleich 1 gesetzt)
Die rote Kurve zeigt den Graphen der Zerfallsfunktion A( t ), die blaue Kurve den Graphen der Entstehungsfunktion MB ( t ) und die ockerfarbene Kurve die daraus resultierende Funktion B ( t ). Letztere hat offenbar ein Maximum bei etwa t = 29 (Wenn man mit dem Mauszeiger über die Grafik fährt, wird ein verschiebbares Koordinatenkreuz angezeigt, mit dem sich das Maximum einigermaßen gut feststellen lässt).
Die genaue Bestimmung von tmax muss nun mit einer Extremwertuntersuchung erfolgen, also: Ableitung von B ( t ) gleich Null setzen und nach t auflösen. Das überlasse ich nun dir :-)
Zur Kontrolle:
Es ergibt sich: tmax = 29,3 Tage.
