Ein " abgeschlossener Raum, der nicht vollständig ist. " Hey das ist doch absurd .
Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge . Dem " Hauptsatz " gemäß, wie ich ihn mal kühn nenne, kannst du zu jedem metrischen Raum alle fehlenden Randpunkte adjungieren, so dass jede Cauchyfolge konvergiert . Ein typisches Beispiel: |Q aufrüsten zu |R .
Weil rein von der Algebra her wäre das gar nicht mal erforderlich; jeder Zahlenkörper besitzt einen ===> algebraischen Abschluss ( AA ) ===> Zariski_Topologie . D.h. bei Onkel Zariski funktioniert AA wie topologischer Abschluss .
In Wiki erfährst du über den AA sogar entschieden mehr als in den Unitexten; der AA von |Q sind die ===> algebraischen Zahlen ( AZ ) Besonders hervor zu heben: Die AZ rnthalten sämtliche Nullstellen ihrer Polynome, sind aber immer noch abzählbar .
Ich meine nur - von Daher brauchte es |R gar nicht .
Der Berweis des Hauptsatzes ist rein technischer Natur und sehr mühselig. Fast wirkt er zirkulär, weil er von Anfang an voraus setzt, was erst bewiesen werden soll: Die Existenz der reellen Zahlen .
Nun weist |Q eine Ordnungsstruktur auf, die zweistellige Relation " x < y ( x ist kleiner als y ) " die du ja in einem allgemeinen metrischen Raum gar nicht hast. Und dies inspirierte ===> Julius Richard Wilhelm Dedekind zu seinem berühmten " Schnitt " , der also auf |R äquivalent ist dem Abschluss der Cauchyfolgen .
