Partielle Integration mit oder ohne vorherige Substitution?

Question

$$\int_{1}^{2} \sin(x-1)\cdot x\text{ d}x$$

Folgende Frage: Laut meinem Wissen müsste ich bei sin(x-1) die Substitution anwenden und anschließend dann mit dem x zusammen nochmal die partielle Integration... im Lösungsbuch wurde aber direkt die partielle Integration angewendet und zwar mit v' = sin(x-1)! Kann mir jemand erklären wieso das geht?

PS: Lösung soll sein:

$$\Big[-\cos(x-1)\cdot x\Big]_1^2 + \int_{1}^{2} \cos(x-1)\text{ d}x$$

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

um die Stammfunktion zu v'(x)=sin(x-1)  zu finden kannst du lineare Substitution machen. Das wäre aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Es ist ist relativ leicht zu sehen, dass v(x)=-cos(x-1). Probe durch Ableiten.

Comments

ok vielen dank erst einmal! habe aber trotzdem nicht die richtige lösung raus:

x*-cos(x-1) -$$\int_{1}^{2}$$1*-cos(x-1)

=x*-cos(x-1)-(-cos(2-1)+ cos(1-1)

=x*-cos(x-1)

was habe ich falsch ?

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oh man ich muss ja cos auch noch integrieren .... ich bin dumm :D

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Du hast das mit den Grenzen durcheinandergehauen. Wenn du die Grenzen eingesetzt hast darf am Ende kein x mehr drin stehen. Bestimme erstmal eine Stammfunktion:

$$F(x)=-\cos(x-1) x + \int \cos(x-1)dx=-\cos(x-1) x +sin(x-1)$$

Jetzt kannst du die Grenzen einsetzen:

$$[-\cos(x-1) x +sin(x-1) ]_1^2=-\cos(1-1) *1 +sin(1-1)+\cos(2-1) *2 -sin(2-1)=-1+2cos(1)-sin(1)$$

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ok das verstehe ich dann doch noch nicht ganz: laut formel müsste es doch dann so heißen:

-cos(x-1)x   -$$\int_{1}^{2}$$ -cos(x-1)*1 und das wäre dann ja -cos(x-1) -(sin(x-1)-sin(x-1) (mit den entsprechenden grenzen drin)

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wobei die 1 natürlich wieder aufgeleitet x ist ... und das dann überall noch dahin muss

Answer 2

$$\int f(x+b)\text{ x} = F(x+b)+C$$darf man einfach so hinschreiben und darauf vertrauen, dass niemand hier die auch mögliche Trivialsubstitution sehen will.