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es geht um den folgenden Satz.

$$ \text{Es sei }G\text{ eine Gruppe. Dann gilt:}\\(i)\text{    Gilt }(g\cdot h)\cdot 2=g^2\cdot h\cdot 2 \text{ für alle }g,h\in G\text{, so ist G abelsch.}\\(ii)\text{   Gilt }g\cdot 2=e \text{ für alle }g\in G\text{, so ist G abelsch.} $$

Beweis.

Zu (i) hätte ich:Definiere $$ g^2:=g\cdot g $$

$$ g\cdot h=(g\cdot e)\cdot h=g\cdot e\cdot h=g\cdot \Bigg(((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\Bigg)\cdot h\\=g\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=(g\cdot (g\cdot h))\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h\\=((g\cdot g)\cdot h)\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=(g^2\cdot h)\cdot 2\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h\\=(g^2\cdot h \cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=((g\cdot h)\cdot 2)\cdot ((g\cdot h)\cdot 2)^{-1}\cdot h=e\cdot h=h\\ \Rightarrow g=e $$

Per Definition einer Gruppe gilt:

$$ e\cdot h=h=h\cdot e \Rightarrow g\cdot h=h=h\cdot g $$

Für (ii) fällt mir kein Ansatz ein. Und wenn ich es versuche, wie oben, das neutrale Element e einzubringen, komme ich nicht wirklich weit damit.

von 8,5 k

Was soll denn (g·h)·2 sein?

Was soll denn (g·h)·2 sein?

Resultat einer schlechten Handschrift

Resultat einer schlechten Handschrift


Nein, ein Element. Ich habs mir nicht so ausgedacht, es war so vorgegeben.

Vielleicht sollte es (g·h)2=g2·h2, bzw. g2=e heißen?

Falls es so sein sollte: Für (ii) und g,h ∈ G gilt
g·h=g·e·h=g·(g·h)2·h=g·(g·h)·(g·h)·h=g2·(h·g)·h2=h·g.

Nein, es heißt wirklich $$ (g\cdot h) \cdot 2= g^2\cdot h \cdot 2 $$

Hat es sich inzwischen geklärt, was mit (g·h)·2 gemeint ist?

Schon längst. Es ist einfach nur ein Element der Menge G.

1 Antwort

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Hallo

Bei der (ii) für das neutrale Element gilt dann ja e*2=e also 2=e. Für alle Elemente g aus G gilt dann e = g*2 = g*e = g. Also ist in der Gruppe nur das neutrale Element. Die triviale Gruppe ist offensichtlich abelsch.

Bei der (i) genauso. Kürzungsregel liefert für alle Elemente g aus G. g=e. Also auch nur die triviale Gruppe, diese ist abelsch.

von 6,0 k
e*2=e also 2=e

Nutzt du dann quasi aus (i) die Eigenschaft aus, dass g=e ist, um zum Schluss zu kommen?

Nein,

Du weißt für alle g aus G gilt g*2=e

Das neutrale Element e ist in G, somit folgt e*2 = 2 = e, nach der Def. des neutralen Elements.

Jetzt gilt nach der Eigenschaft für alle g aus G: e = g*2 = g*e = g. Du hast in der Gruppe also nur ein Element, nämlich das neutrale.

Ah stimmt. Hatte nicht auf dem Schirm, dass g auch das neutrale Element e sein kann.

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