+1 Daumen
1,4k Aufrufe


$$\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 3 + ( - 1 ) ^ { \wedge } n ) ^ { \wedge } n }$$

und berechnen Sie ihren Wert.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen, wäre sehr dankbar dafür

von

2 Antworten

0 Daumen
Nehmen wir an n ist gerade, dann lässt sich der Term vereinfachen zu

1/4^n für n = 0, 2, 4, ...

1/16^n für n = 0, 1, 2, ...

und die Summe geht gegen  16/15.

 

Nehmen wir an n ist ungerade, dann lässt sich der Term vereinfachen zu

1/2^n für n = 1, 3, 5, ...

1/2*1/2^n für n = 0, 2, 4, ...

1/2*1/4^n für n = 0, 1, 2, ...

hier geht die Summe gegen 1/2 * 4/3 = 4/6 = 2/3

 

Die Summe dieser beiden Reihen sollte daher gegen 16/15 + 2/3 = 26/15 gehen.
von 354 k 🚀
0 Daumen

Eine kleine Ergänzung noch zur Konvergenz.

Wenn man die ersten Glieder sich hinschreibt folgt:

sn = 1 + 1/2 + 1/42 + 1/23 + 1/44 + 1/25 + 1/46 + ..

Die Folge 1/(3 + (-1)n)n ist eine monoton fallende (sn+1 < sn) Nullfolge. Nach dem Leibnizkriterium liegt eine konvergente Reihe vor.

 

Numerisch ergibt sich ein Grenzwert der Reihe von 1,7333333, Deckt sich mit dem Ergebnis vom Mathecoach .-)

 

von 5,4 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community