Den letzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Daher gehe ich nochmal vom vorletzten Schritt aus, um die Schnittpunkte zu ermitteln:
$$0 = mx - 5m + 7 + 2x + 0,25 x^2 = 0,25 x^2 + mx + 2x + 7 -5m = 0,25 x^2 + (m + 2) \cdot x + 7-5m | \cdot 4$$
$$ 0 = x^2 + (4m + 8) \cdot x + 28 - 20m $$
pq-Formel anwenden:
$$p= 4m + 8 \ , q = 28 - 20m$$
$$ x_{1,2} = -2m - 4 \pm \sqrt{ (2m + 4)^2 - 28 + 20m} = -2m - 4 \pm \sqrt{ 4m^2 + 16m + 16 - 28 + 20m}$$
$$ = -2m - 4 \pm \sqrt {4m^2 + 36m - 12} = -2m -4 \pm 2 \cdot \sqrt{m^2 + 9m - 3}$$
Um untersuchen zu können, ob sich die beiden Funktionen nun schneiden oder berühren, gibt es mehrere Möglichkeiten. Mir würde spontan der Weg über Gleichsetzen der Ableitungen oder die Betrachtung, ob es sich bei der Differenz der beiden Funktionen an den Schnittstellen um doppelte Nullstellen handelt, einfallen. Da kommt es drauf an, was ihr in der Schule bereits hattet.
