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1. Zeigen Sie, dass zwischen benachbarten Ortsvektoren der y-Ebene stets unterschiedliche Winkel vorliegen
Für diese Aufgabe betrachten wir eine Sequenz von Vektoren \(\vec{v}_n\) in der y-z-Ebene mit Komponenten gemäß der gegebenen Definition:
\(
\vec{v}_n = (0, 90-n, n), \text{ für } n = 0, 1, 2, \ldots, 45.
\)
Der Winkel \(\theta\) zwischen zwei benachbarten Vektoren \(\vec{v}_n\) und \(\vec{v}_{n+1}\) kann über das Skalarprodukt berechnet werden, das definiert ist als:
\(
\vec{v}_n \cdot \vec{v}_{n+1} = \|\vec{v}_n\| \|\vec{v}_{n+1}\| \cos(\theta),
\)
wo \(\|\vec{v}\|\) die Norm (Länge) des Vektors \(\vec{v}\) ist.
Da alle Vektoren in der y-z-Ebene liegen und ihre x-Komponente immer 0 ist, können wir dieses Prinzip auf unsere spezifischen Vektoren anwenden:
\(
\vec{v}_n = (0, 90-n, n) \text{ und } \vec{v}_{n+1} = (0, 90-(n+1), n+1).
\)
Die Länge eines Vektors \(\vec{v}\) ist gegeben durch:
\(
\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.
\)
Daher sind:
\(
\|\vec{v}_n\| = \sqrt{0^2 + (90-n)^2 + n^2}
\)
\(
\|\vec{v}_{n+1}\| = \sqrt{0^2 + (90-(n+1))^2 + (n+1)^2}.
\)
Und das Skalarprodukt \(\vec{v}_n \cdot \vec{v}_{n+1}\) ist:
\(
\vec{v}_n \cdot \vec{v}_{n+1} = 0*0 + (90-n)(90-(n+1)) + n(n+1).
\)
Um zu beweisen, dass zwischen benachbarten Vektoren unterschiedliche Winkel vorliegen, müssen wir zeigen, dass \(\theta\) für jedes \(n\) (von 0 bis 44, da der letzte Vektor für \(n=45\) ist) verändert und keine zwei Vektoren genau parallel (d.h., \(\theta = 0\) oder \(\theta = 180°\)) zueinander sind.
Da alle Vektoren eine Komponente in der y- und z-Achse haben, die sich mit jedem Schritt \(n\) um 1 ändert, ändert sich auch die Orientierung jedes Vektors gegenüber seinem Vorgänger geringfügig. Dies impliziert, dass der Kosinus des Winkels zwischen zwei aufeinanderfolgenden Vektoren (und somit der Winkel selbst) für jedes \(n\) verschieden sein wird, solange \(0 \leq n < 45\).
Beobachtung zur Winkelgröße für wachsendes n
Mit zunehmendem \(n\) nimmt die y-Komponente des Vektors ab, während die z-Komponente zunimmt. Daraus folgt, dass sich der Vektor von der y-Achse zur z-Achse dreht. Die Größe des Winkels zwischen aufeinanderfolgenden Vektoren bleibt zwar konstant, die Richtung der Vektoren verändert sich jedoch kontinuierlich. Daher ist zu beobachten, dass, obwohl die genau berechnete Winkelgröße bei jedem Schritt variiert, die Tatsache, dass sie sich ändert, konstant bleibt und die Vektoren eine Rotation um den Ursprung ausführen, wobei der Winkel zwischen angrenzenden Vektoren eher konstant zu sein scheint, die Gesamtorientierung der Vektoren sich jedoch ändert.
2. Zeichnen Sie ein dreidimensionales Koordinatensystem
Da ohne interaktive Medien oder Zeichenwerkzeuge die Anforderung, ein dreidimensionales Koordinatensystem mit einem Viertelkreis zu zeichnen, hier nicht direkt umgesetzt werden kann, stellen Sie sich einfach vor:
- Ein dreidimensionales Koordinatensystem mit den Achsen x, y und z.
- Ein Viertelkreis in der y-z-Ebene, dessen Mittelpunkt im Ursprung (0,0,0) liegt.
- Ortsvektoren, die von (0,0,0) zu verschiedenen Punkten auf dem Viertelkreis zeigen, wobei diese Vektoren einen Winkel von 1°, 2° usw. mit der y-Achse bilden.
3. Bestimmung von Vektoren mit einem Winkel von ca. 0,5°
Um Vektoren mit einem Winkel von etwa 0,5° zwischen ihnen zu bestimmen, kann man ähnlich vorgehen, aber mit einer feineren Differenzierung in den Werten von \(n\), oder man könnte einen Ansatz überlegen, der noch kleinere Schritte zwischen den Winkeln zulässt. Ein Beispiel wäre die Einführung eines neuen Parameters \(m\), der halb so groß ist wie die vorherigen Schritte, oder die Anpassung der Schrittlänge im Verhältnis zu einer feineren Gradeinteilung.
Begründung für das Auffinden von Vektoren mit noch viel kleinerem Winkel:
- Für noch kleinere Winkel könnte man entweder die Anzahl der betrachteten Vektoren (also den Wertebereich von \(n\)) erhöhen oder die Berechnungsmethode verfeinern, indem man zusätzliche mathematische Werkzeuge wie die Trigonometrie oder die Vektoranalysis verwendet.
- Ein Ansatz könnte sein, die Definition der Vektoren zu ändern, um eine feinere Kontrolle der Winkel zu ermöglichen, insbesondere durch Anpassung der Änderungsrate in den Komponenten im Vergleich zu \(n\).
Das grundsätzliche Vorgehen zur Ermittlung der Vektoren stellt sicher, dass man durch systematisches Variieren der Komponenten in kleineren Schritten jede beliebig detaillierte Orientierung der Vektoren erreichen kann, was die Möglichkeit eröffnet, Vektoren mit extrem kleinen Winkeldifferenzen zu untersuchen.
