Konstanten Faktor aus einer Funktion ziehen

Question

Ich habe hier eine Musterlösung vorliegen bei der ich zwar verstehe was gemachg wurde, aber niemals selber draufgekommen wäre.

Gegeben ist die beschränkte Menge B={$$ \frac{-4n+3}{3n+1} $$} | n∈N

Nachdem gezeigt wurde das die Funktion stren monoton fallend ist und 3 das Supremum ist, machen wir uns an das Infimum. Die Vorgehensweise ist mir klar, jedoch habe ich ein Problem hiermit:

Aus $$ \frac{-4n+3}{3n+1} $$  Wird : $$ \frac{-4}{3} $$ + $$ \frac{13}{9n+13} $$

Wobei ersteres als konstanter und zweiteres als stetig monoton fallend bezeichnet wird.

Wenn ich das zusammenrechne, kommt auch wieder der ursprüngliche Term raus. Jedoch wäre ich nie selber darauf gekommen das so aufzuteilen.

Gibt es ein Schema oder Hilfreiche Tipps eine Funktion in einen konstanen und nicht konstanten Teil aufzuteilen?

Danke und Gruß,

DunKing

Answer 1

Tipps, die immer passen sind natürlich schwierig.

Aber hier sit es ja so, dass du vermutlich schon früher gelernt

hast, dass für n gegen unendlich der Bruch (-4n+3)/(3n+1) einen

Grenzwert hat. In einer solchen Situation kann es manchmal hilfreich

sein, sich die Sache in Term = Grenzwert + Rest aufzuteilen und

sich anzusehen, ob der Rest (so wie in dem Beispiel) monoton ist.

Dann kann man immer so argumentieren.