Warum sind Linearkombinationen nicht unendlich?

Question

es geht um die im Titel gestellte Frage. Ich kann mir das nicht wirklich vorstellen. Zumal wird das auch in der Definition für eine Linearkombination genannt. Ja, ich weiß, dass in einer Definition Dinge festgelegt werden und damit im Laufe von Beweisen von Sätzen darauf zurückgegriffen wird. Jedoch finde ich es auch verdammt wichtig, diese Definition wirklich verstehen zu können.

Die Definition, die ich zur Linearkombination habe ist:

$$ \text{Es seien }\mathbb{K}\text{ ein Körper, }V\text{ ein }\mathbb{K}\text{-Vektorraum und }\mathcal{F}=(v_i)_{i\in I}\\\text{eine Familie in }V\text{. Eine Linearkombination über }\mathcal{F}\\\text{ist ein Element der Form}\sum_{i\in I}a_i\cdot v_i\in V, \\\text{wobei }a_i\in \mathbb{K}, \quad a_i\neq 0_{\mathbb{K}}\text{ für höchstens endlich viele }i\in I.$$

Es geht nicht in mein Kopf rein, das es nur endlich viele Koeffizienten sein sollen, die nicht Null sind, sodass ich eine Linearkombination habe. Warum? Mir ist folgendes Beispiel eingefallen:

$$\text{Sei }\mathcal{F}:=(v_1,v_2,v_3,...)\text{ eine Familie von Vektoren, wobei }\\v_1=v_2=v_3=...\neq0_{V}\ .\\ v=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot v_k\in V, \qquad n,k\in \mathbb{N} $$

Ich lasse mit dem Limes die Koeffizienten immer kleiner werden, sodass ich meinen Vektor v∈V darstellen kann. Aber warum wäre das nicht möglich?

Answer 1

Ich glaube das ist eine reine Definitionssache.

Eine Polynomfunktion besteht ja auch aus endlich vielen Potenzen von x.

Außerdem macht es vermutlich kaum Sinn mit unendlich vielen Vektoren als Linearkombination zu rechnen. Denn n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-dimensionalen Raum auf. Für den R^3 langen also 3 linear unabhängige Vektoren und als Linearkombination, lässt sich dann jeder 3-dimensionale Vektor darstellen.

Gibt es denn unendlich-dimensionale Vektoren? Dann würde eventuell eine Linearkombination aus unendlich vielen Vektoren Sinn machen.

Comments

Und warum defininert man es nicht gleich nur mit einer endlichen Familie, wenn es ohnehin sinnlos ist, mit unendlich vielen Vektoren einen Vektor darzustellen?

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Linearkombination

Dort wird komischerweise gesagt, dass nur endlich viele betrachtet werden (bei: Linearkombinationen beliebig vieler Vektoren).

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Und warum defininert man es nicht gleich nur mit einer endlichen Familie ...?

Weil das mit unendlichen Familien eben erklaerbar bleibt und auch eine echte Erweiterung ist. Betrachte z.B. den Vektorraum aller reellen Polynome in \(X\) und da die Familie \(\{1, X, X^2, X^3\, \ldots\}\). Jedes reelle Polynom in \(X\) laesst sich als endliche Linearkombination von Elementen aus dieser Familie schreiben. Das klappt aber mit keiner endlichen Familie, wie Du Dir leicht ueberlegen kannst.

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Jedes reelle Polynom in X laesst sich als endliche Linearkombination...

Ok, das heißt, wenn ich zum Beispiel dieses Polynom habe $$ 2x+4x^{n+1}, $$ dann bekäme ich zum Beispiel bei dieser endlichen Familie $$\{1,x,x^2,...,x^{n-1}\} $$ schon Probleme, da ich den zweiten Summanden nicht darstellen kann.

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Um noch einen draufzusetzen: Du kannst auch den Vektorraum aller formalen Potenzreihen mit Elementen \(\sum_{k=0}^\infty a_kX^k\) (mit \(a_k\in\mathbb{R}\)) betrachten. Du kannst dann im Allgemeinen so eine formale Potenzreihe nicht mehr als Linearkombination mit Elementen aus \(\{1,X,X^2,X^3,\ldots\}\) schreiben, weill Du ja bloss endliche Linearkombinationen verwenden kannst. Unendliche ergeben naemlich auch weiterhin keinen Sinn, da kein Konvergenzbegriff zur Verfuegung steht. Die Potenzreihen sind nur formal zu verstehen: https://de.wikipedia.org/wiki/Formale_Potenzreihe

Nebenbei: Die Menge \(\{1,X,X^2,X^3,\ldots\}\) ist eine Basis des Raumes aller Polynome, aber keine des Raumes aller formalen Potenzreihen.

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weill Du ja bloss endliche Linearkombinationen verwenden kannst

Klingt heftig, aber stimmt, da ja nur endlich viele - genauer höchstens endlich viele - gefordert werden, die nicht Null sind.

Mir ist selbst noch ein kleines Beispiel eingefallen.

$$ \text{Betrachte die endliche Familie }\mathcal{F}:=\left\{\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\right\}.\\\text{ Versuch ist es, den Vektor }\\v=\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \text{ als Linearkombiantion über }\mathcal{F}\text{ darzustellen.}$$

Das kann hier aber nicht gelingen, da dass LGS dafür keine Lösung liefert.

$$ 0\cdot a+1\cdot b=1\\1\cdot a+1\cdot b=0\\1\cdot a+1\cdot b=1\\\mathbb{L}=\{\} $$

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An dieser Stelle koenntest Du jetzt mit den Themen Erzeugendensystem und Basis weitermachen. :)

Answer 2

In einem Raum, der nur Vektorraum ist, kann man ueberhaupt nicht von Konvergenz sprechen und deshalb auch keine Grenzwerte bilden. Erklaere doch selber mal, was es für eine Folge von Vektoren \((v_n)\) bedeuten soll, dass \(v_n\to v\) gilt.

Wenn der Vektorraum noch zusaetzliche Eigenschaften hat, kann die Sache anders aussehen. Das waere z.B. der Fall bei einem normierten Vektorraum oder auch einem topologischen Vektorraum. Dein Thema ist aber offensichtlich die elementare Theorie der Vektorraeume. Und da sind Vektorraeume eben nur Vektorraeume und sonst nix. Und Konvergenz ist nicht. Ergo kann man da auch nur ueber endliche Linearkombinationen reden.

Answer 3

   Diese Frage habe ich gesucht; hier will ich unbedingt nochwas dazu sagen. Ein Vektorraum V über Körper K hat Dimension 1 genau dann, wenn v  =  K  .  Stimmst du mir so weit erst mal zu?

     Z.B. auf den reellen Zahlen  |R  könntest du eine Summe wie  1 + 1  oder auch 1  +  1 +  1  durchaus ansehen als Linearkombination  (  LK  )  ,  wobei  es deinem Geschmack überlassen bleibt, welche Zahl du speziell als " Skalar " ansprichst und welche als Vektor.  So weit klar?

   Aber wie soll das folgende definiert sein?

      1 + 1 + 1 + 1  ....    ( unendlich oft )     (  1  )

    

    Offenbar ist eine unendliche Summe gar nicht definiert. Solltest du immer noch skeptisch bleiben,  verlegen wir das Spielchen in den   |R  ²   Seien e1 und e2  zwei Basisvektoren.

  v  :=  (  1 + 1 + 1 + 1  ....    )  e1  +  (  1 + 1 + 1 + 1  ....    )  e2      (  2  )

   Wieder meine ich eine unendliche Summe;   irgendwo ergibt das alles überhaupt keinen Sinn.

   Wie entstehen überhaupt Summen von mehr als zwei Zahlen?   Du wirst lachen; durch vollständige Induktion.

          c  ;=  a1  +  a2       (  3a  )      (  Induktionsanfang  )

    

                          n

        c_n  :=  SUMME   c_i       (  3b  )     (  Induktionsannahme  )

                       i = 1

   

                                n

        c_n+1  :=  (  SUMME  )  c_i  +  c_n+1        (  3c  )    (  Induktionsschritt  )

                              i = 1

    Für ein " unendlich großes  "  n fehlt hier einfach jegliche Grundlage  ===>  transfinite Induktion

   Mal sehen, ob du das überhaupt verstehst, was dein Prof gesülzt hat. Was ist denn das, eine  FAMILIE  F  von Vektoren?  Warum sagt dein Prof nicht schlicht und ergreifend, eine Menge von Vektoren; was unterscheidet eine Familie von einer Menge?

   Weil eurr Prof exakt bleiben will, ohne euch zu viel zu verraten.  Warum eine Familie keine Menge ist; im Folgenden schreibe ich Familien immer in spitzen Klammern statt Mengenschleifen.  ( Unser Prof.  Kerner ging wenigstens Ansatz weise darauf ein. )

    Nimm z.B. die Familie

         F  :=  <  a  ;  a  >        (  4  )

    Kerner legte äußersten Wert darauf:  Linear (un)abhängig zu sein, ist NIE die Eigenschaft einzelner Vektoren, sondern eine eigenschaft der  FAMILIE .  Und F ist ganz offensichtlich linear abhängig, weil hier nämlich ein Element   "  doppelt gezählt "  wurde . Als Menge aufgefasst, besteht F hingegen nur aus dem einzigen Element  a  .  Was ist hier los?

   Du kommst hier effektiv nicht weiter, wenn du dir nicht im Internet den Begriff der ===>  Ordinalzahl  ( OZ )  zu Gemüte führst; wunderbar erläutert durch farbige Schaubilder.  Du wirst noch die Lebenserfahrung machen; Matheprofs meiden OZ wie der Teufel das Weihwasser  - zu Unrecht, wie ich meine.

   Die kleinste OZ  ist die Null;  0  :=  {  }  =  leere Menge

   Dann kommt die Eins;  1  :=  {  0  }   Dann die 2.

     2  :=  {  0  ;  1  }      Wie du siehst, enthält jede OZ ihre sämtlichen Vorgänger;  OZ wurden nicht zum Rechnen erfunden, sondern zum Zählen.

   So; und jetzt sind wir schon in der Lage zu formulieren, was eine Familie ist:

   " Eine Familie  F von Vektoren in einem Vektorraum V entspricht einer Abbildung von einer OZ  r  in den Raum V.  "

   Dabei dient r gleichzeitig als ===>  Indexmenge  der Vektoren.  So  ist etwa in dem obigen Beispiel   (  4  )  r  =  2  ;  und den beiden Indizes 0 und 1 werden die Vektoren  a0  =  a1  =:  a zugeordnet.

    Im Gegensatz zu einer LK,  die stets nur eine Auswahl von endlich vielen Vektoren umfassen darf,  gibt es auch unendliche Familien / Basen. Da hast du dann das Recht,  deine Auswahl zu treffen aus einer unendlichen Menge.

    Unendliche MENGE ja;  unendliche  SUMME  nein.

   Die kleinste ===>  transfinite OZ   ===>  Grenzzahl  ist

           w  .=  |N  =  Aleph_0       (  5  )

      Gleichung  (  5  )  solltest du wörtlich nehmen. Den Begriff der  Kardinalzahl  ( KZ ; Mächtigkeit )  solltest du kennen.   Für endliche Mengen gilt ja KZ  =  OZ  ;  für unendliche nicht. Mir liegt vor

   "  Grenzen der Mathematik  "  von Dirk W. Hoffmann, Verlag Spektrum

   Dort werden OZ rehabilitiert;  die  KZ  ist genau die kleinst mögliche OZ einer Menge. In diesem Sinne  IST die Menge der natürlichen Zahlen in ( 5 ) selbst eine Zahl; und sämtliche natürlichen Zahlen sind ihre Vorgänger .

   Du weißt, dass eine Folge nichts weiter ist als eine auf  ( 5 ) definierte Funktion.  Damit wäre etwa eine abzählbare Vektorenfamilie das selbe wie eine Vektorenfolge. Aber OZ  verallgemeinern diesen Begriff eben auf beliebige über-über-überabzählbare Familien.

   Aus wiki erfahre ich:  Das ===> Auswahlaxiom   (  AA  )  ist   äquivalent zu der Aussage,   dass  jeder Vektorraum überhaupt eine Basis hat.  Weil hier kam schon die Frage; was ist die Basis des Raumes C0 aller stetigen Funktionen?  Wäre diese Basis konstruierbar, wüsstest du ja, dass das AA  ( in diesem Falle ) erfüllt ist.

   Hier kennst du den Witz

    "  Das AA  ist trivial erfüllt.

     Der Wohlordnungssatz kann einfach nicht stimmen.

     Und beim Zornschen Lemma wird man sehen ... "

    soll ich ihn dir erklären?