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Ein Draht ist 36 cm lang. damit soll ein Quader gebaut werden, die GrundflÀche soll aber ein Quadrat sein. stelle die gleichung dafur auf und gib den maximalen volumen an .
von
Ich habe aus 'Quader' als GrundflÀche 'Quadrat' gemacht.

1 Antwort

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Annahme: x = Seite der GrundflĂ€che und h = Höhe,  so gilt

Nebenbedingung: 8x + 4h = 36     d.h.

2x + h = 9

h = 9 -2x

V(x) = x^2 * (9 - 2x)                              |in diesem Ausdruck sollte nur eine Variable stehen.

                                                                     Deshalb habe ich h eingesetzt

V(x) = 9x^2 - 2x^3

V '(x) = 18x - 6x^2                       |  Nullsetzen!

18x - 6x^2 = 0

3x - x^2 = 0                                 |Faktorisieren

x(3-x) = 0                            

x1 = 0,   x= 3                         zugehöriges h bestimmen

h1 = 9,     h2 = 3

Die Lösung mit x=0 cm und h=9 cm liefert ein rel. minimales Volumen

x=3 cm und h = 3 cm sorgt fĂŒr maximales Volumen.

Vmax=V(3) = 33 cm3  = 27 cm3

von 160 k 🚀
Welche Formel benutze ich beim Nullsetzen ?  Wie komme ich von V nach V" ? Beim Nachvollziehen deiner Loesung hatte ich an dieser Stelle Probleme.

Da leitet man nach x ab. Das ist Differentialrechnung.

Eine Regel ist

(a xn )'  = na xn-1    wenn a eine Konstante ist.

Eine andere

(f(x) + g(x))' = f ' (x) + g'(x)

Ansonsten gibt's da noch die Produktregel und die Kettenregel. Sog. Ableitungsregeln.

 

Man berechnet mit der Ableitung die Steigung an jeder Stelle x.

Wenn diese Steigung 0 ist, liegt eine Stelle mit horizontaler Tangente vor.

Das kann die Stelle mit einem lokalen Maximum, Minimum oder ein sog. Terrassenpunkt sein.

 

 

Wenn du V(x) aufzeichnest, siehst du im ersten Augenblick eigentlich nicht, dass die Extremalstellen 'abgerundet' sind. Du musst dir vorstellen, dass die Kurve bei x=0 und x=3 waagrecht verlÀuft.

 

Du kannst bei deinem Beispiel allerdings auch argumentieren, dass aus SymmetriegrĂŒnden die Lösung, die am kugelĂ€hnlichsten ist (hier der WĂŒrfel) das maximale Volumen hat. Das ist dann allerdings kein verallgemeinerbares Verfahren.

Ich bedanke mich fĂŒr die ausgezeichnete Erlaeuterung. Mfg Geli

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