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Kann mir bitte jemand auch diese Bsp.: genauerer erklären?


Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A,B,C gegeben: A(-1/-3), B(5/-3) und C(5/5).

Berechnen Sie:

• die Richtungsvektoren der Seiten (a,b,c) und ihren Längen

• den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius

• den Flächeninhalt des Dreickes.

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Hallo Azan,

... will ich wissen, wie ich den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius berechne.

Roland hat schon recht. Die Punkte sind so gewählt, dass einem das Ergebnis in den Schoß fällt. Der Umkreismittelpunkt \(U\) liegt auf der Mitte der Strecke \(CA\) bei \((2|1)\) und der Radius \(r\) des Umkreises ist \(r=5\).

Skizze.png

Ausrechnen kann man das, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt. Dazu ist im ersten Schritt z.B. die Parameterform von zwei der Mittelsenkrechten aufzustellen. Man benötigt also jeweils einen Punkt und einen Richtungsvektor. Ich wähle die Mittelsenkrechten durch \(AB=c\) und \(BC=a\). Die Mittelsenkrechten gehen durch die Mittelpunkte der Seiten. Die Mittelpunkte der Seiten berechnen sich aus dem Mittel der beiden Eckpunkte: $$M_c = \frac12 (A+B) = \frac12 \left( \begin{pmatrix}  -1\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  5\\-3 \end{pmatrix}\right) = \frac12 \begin{pmatrix}  4\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  2\\-3 \end{pmatrix}$$ $$M_a = \frac12 (B+C) = \frac12 \left( \begin{pmatrix}  5\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  5\\5 \end{pmatrix}\right) = \frac12 \begin{pmatrix}  10\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  5\\ 1 \end{pmatrix}$$ Um die Richtungsgeraden zu bestimmen drehe ich die Richtungsvekoren der Seiten im rechten Winkel. Angenommen ein Vektor \(v\) hat die Koordinaten $$v = \begin{pmatrix}  x\\ y \end{pmatrix}$$ dann hat ein Vektor \(v \perp\) die Koordinaten $$v \perp = \begin{pmatrix}  -y\\ x \end{pmatrix}$$ D.h. wenn \(c=B-A= \begin{pmatrix}  6&  0 \end{pmatrix}^T\) dann ist der Vektor \(n_c\) (rot) senkrecht dazu: $$n_c = c \perp = \begin{pmatrix}  0\\ 6 \end{pmatrix}$$ die Mittelsenkrechte von \(c\) ist also: $$m_C: \space x = M_c + n_c \cdot r  =\begin{pmatrix}  2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot r$$ Genauso ist die Mittelsenkrechte durch \(a\) mit dem Richtungsvektor \(n_a\) (gelb): $$m_A: \space x = M_a + n_a \cdot s= \begin{pmatrix}  5\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  -8\\ 0 \end{pmatrix} \cdot s$$ Den Schnittpunkt \(U\) und damit den Mittelpunkt des Umkreises findet man nun durch Gleichsetzen der beiden Geraden: $$\begin{pmatrix}  2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot r = \begin{pmatrix}  5\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  -8\\ 0 \end{pmatrix} \cdot s$$ ein wenig umstellen ...$$\begin{pmatrix}  0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot r + \begin{pmatrix}  8\\ 0 \end{pmatrix} \cdot s = \begin{pmatrix}  5\\ 1 \end{pmatrix} -  \begin{pmatrix}  2\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  3\\4 \end{pmatrix}$$  Dies sind zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten \(r\) und \(s\) und da zwei Nullen drin vorkommen, lässt sich das Ergebnis gleich ablesen: \(r=2/3\) und \(s=3/8\). Einsetzen in eine der beiden Geradengleichungen gibt den Schnittpunkt \(U\): $$U = m_c(r = 2/3) = \begin{pmatrix}  2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot \frac23 = \begin{pmatrix}  2\\-3 \end{pmatrix}  + \begin{pmatrix}  0\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  2\\ 1 \end{pmatrix}$$ Den Radius \(r\) des Umkreises erhält man aus der Länge der Strecke von \(U\) zu einem der Eckpunkte: $$ r = |AU| = |U - A| = \left| \begin{pmatrix}  2\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}  -1\\ -3 \end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix}  3\\ 4 \end{pmatrix}\right|= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$ Falls Du noch Fragen hast - z.B. zum Flächeninhalt (F = 24) - so melde Dich bitte noch mal.

Gruß Werner

von 15 k

Danke für die Antwort,

könntest du mir bitte auch den Flächeninhalt ausrechnen?

Hallo Azan,

Du könntest uns das Antworten leichter machen, wenn Du uns entweder mitteilst wo genau Deine Schwierigkeit liegt, den Flächeninhelt zu berechnen, oder zumindest sagst, welche Grundlagen ihr dazu aktuell in der Schule lernt.

Es handelt sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel im Punkt \(B\). Ein rechtwinkliges Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks, welches entlang einer Diagonalen halbiert wurde. Somit ist hier die einfachste Methode, das Produkt der Katheten zu halbieren.

$$F = \frac12 |AB| \cdot |BC| = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$$

Wäre es ein allgemeines Dreieck, so müsstest Du eine der Höhen bestimmen. Wenn man es sich schwer machen will, bestimmt man in diesem Fall die Höhe \(h_b\) - also den Abstand des Punktes \(B\) zur Geraden durch \(A\) und \(C\). Dazu berechnete man zunächst den Fußpunkt \(F_B\) des Lotes von \(B\) auf diese Gerade:

$$b = A - C = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}$$

$$F_b = A + b \cdot \frac{(B-A) \cdot b}{b^2} \\ \space = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} \frac{ \left( \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}}{(-6)^2 + (-8)^2} \\ \space =  \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot \frac{-36}{100} \\ \space = \begin{pmatrix} 1,16 \\ -0,12 \end{pmatrix}$$

Die Höhe \(h_b\) ist dann:

$$h_b = |FB| = |B - F | = \left| \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1,16 \\ -0.12 \end{pmatrix}\right| \\ \space = \left| \begin{pmatrix} 3,84 \\ -2,88 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{3,84^2 + (-2,88)^2} = 4,8$$

Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich dann aus

$$F = \frac12 h_b \cdot |b| = \frac12 \cdot 4,8 \cdot \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} \\ \space = \frac12 \cdot 4,8 \cdot 10 = 24$$ ... oder Du bestimmst den Abstand \(h_b\) mit Hilfe der Normalform der Geraden durch \(AC\)

... oder Du berechnest die Fläche mit Hilfe des Kreuzprodukts: $$F = \frac12 | a \times b| = \frac12 \left|\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -6\\ -8\end{pmatrix} \right| \\ \space= \frac12 \cdot |6 \cdot (-8) + 0 \cdot (-6)| = 24$$

Ich weiß nicht, was Ihr zur Zeit in der Schule dran habt.

Okay, ab jetzt werde ich so machen, wie ihr gesagt habt, damit ihr es leichter habt.

Ich danke euch allen ganz herzlich, dass ihr mir geholfen habt.

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Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A,B,C gegeben: A(-1/-3), B(5/-3) und C(5/5).
Berechnen Sie:
• die Richtungsvektoren der Seiten (a,b,c) und ihren Längen

Es gibt drei Punktepaare deren Differenz jeweils zu berechnen ist.


• den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Seiten. Dessen Abstand von einer Geraden auf der eine Seite liegt.


• den Flächeninhalt des Dreickes.

(Länge einer Seite) · (Abstand des dritten Punktes von dieser Seite)/2.

von 47 k

Könntest du es mir bitte rechnerisch erklären?

Hallo Azan, ich habe bei meiner Antwort die sehr lange Aufgabe in Einzelschritte zerlegt. Nenne mir bitte den Einzelschritt, den du zuerst erklärt haben möchtest. Dann können wir uns nach und nach durch die Aufgabe bewegen.

OKay, als erstes will ich wissen, wie ich den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius berechne.

Es wäre sehr nett, wenn ihr es mir rechnerisch Schritt für Schritt erklären würdet.

Zeichne das Dreiecik im Koordinatensystem. Dann siehst du:

AB und BC stehen senkrecht aufeinander und sind parallel zu den Koordinatenachsen. Der Schnittpunkt ihrer Mittelsenkrechten ist (2|1) und das ist der Mittelpunkt M des Umkreises. MA=(-3|-4). Die Länge |MA|=5 (Pythagoras) ist der Radius des Umkreises.

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