Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U(x1,x2)?

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=x1^0.6 x2^0.5. Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=5 und p2=1 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=300.

Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Budgetrestriktion.

Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U(x1,x2)?

Ich habe schon eine Nebenfunktion und eine Lagrangefunktion gebildet.

Mit der Hilfe von Beispielen mit anderen Zahlen bin ich bis zu diesem Schritt gekommen:

0,6x^-0,4·y^0,5 / (x^0,6·0,5y^-0,5) = 5/1

y=?

Könnte mir jemand weiterhelfen bitte?

Answer 1

Hallo wellington,

wenn Du den übliche Weg gegangen bist, $$U(x_1,x_2)=x_1^{0,6} \,x_2^{0,5} \\ p_1=5; \quad p_2=1; \quad I = x_1p_1 + x_2 p_2 = 300 \\ L(x_1,x_2,\lambda) = x_1^{0,6} \,x_2^{0,5} + \lambda(5x_1 + x_2-300) \\ \frac{\partial L}{\partial x_1} = 0,6x_1^{-0,4}\, x_2^{0,5} + 5 \lambda = 0\\ \frac{\partial L}{\partial x_2} = 0,5x_1^{0,6}\, x_2^{-0,5} + \lambda = 0 \quad \Rightarrow \lambda = - 0,5x_1^{0,6}\, x_2^{-0,5}$$

kommst Du nach dem Einsetzen von $\lambda$ in die erste Gleichung, auf: $$0,6x_1^{-0,4}\, x_2^{0,5} = 2,5 x_1^{0,6}\, x_2^{-0,5} \quad \left|\cdot \, x_1^{0,4}\,x_2^{0,5} \right.\\ 0,6 x_2 = 2,5 x_1 \\ x_1 = 0,24 x_2$$

nach Einsetzen von $x_1$ in die Nebenbedingung $5x_1 + x_2 = 300$ $$5 \cdot 0,24 x_2 + x_2 = 300$$ gibt $x_2= 1500/11$ und $x_1=360/11$.

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es freut mich, dass ich Dir helfen konnte :-)