Nachweis gleichmäßige Stetigkeit

Question

bei folgender Aufgabe sollen wir nachweisen, dass die folgende Funktion gleichmäßig stetig ist.

Die Definition ist mir bekannt, aber ich scheitere regelrecht an dieser Aufgabe:

Sei ||.|| die euklidische Norm im ℝⁿ und für f:ℝⁿ  → ℝ sei

(f)₊ := f(x), falls f(x) >0

(f)₊ = 0, falls f(x) ≤ 0

Zeige, dass die Funktion

f(x) := √||x|| √(1-||x||² )₊   

gleichmäßig stetig ist

Answer 1

Die Funktion ist rotationssymmetrisch. Man kann eine Skizze machen, indem man \(f(x)\) ueber \(\lVert x\rVert\) auftraegt.

~plot~ sqrt(x)*sqrt((1-x^2)*(x<1));[[0|2|-0.1|1.2]] ~plot~

Man kann also \(f(x)=\phi(\lVert x\rVert)\) schreiben und sich ueberlegen, dass man nur \(\phi\) weiter zu untersuchen braucht.

Satz von Heine hilft auch. In jedem Intervall \([0,a]\) ist \(\phi\) gleichmaessig stetig, und weiter aussen tut sich eh nix mehr, was noch stoeren koennte.