Question

Beweise mittels vollständiger Induktion

$$\sum_{k=0}^{n-1} f(k) = f(n+1)-1$$

Edit:

 will keine lösung.Ich will nur wissen, ob es ohne ein definition für f möglich ist.

Comments

Deine Chancen auf eine vernuenftige Antwort sind proportional zur Sinnhaftigkeit Deiner Frage. Lass also die Philosophie beiseite und reproduziere dafuer die Originalaufgabe korrekt und vollstaendig.

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Das ist ja die aufgabe " ∑  ^n-1  _k=0  f(k) = f(n+1)-1 "        n-1 sollte über dem summen zeichen stehen und k=0 darunter

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Das ist ja die aufgabe

Bitte, wenn Du drauf bestehst. Ist Deine Sache. Erwarte bloss keine gescheite Antwort auf Deine Muellanfrage.

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Was ist das Problem? Das ist die komplette Aufgabe.. Die Gleichung mit einer VollständigenIinduktion beweisen

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sein problem ist das er aufgrund seiner fälschlichen überlegenheitsannahme sozial unverträgliche kommentare postet. so macht man sich keine freunde @fakename.

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@m00d: Bei Dir sehe ich null Fragen und null Antworten. Es waere angebracht, wenn Du Dir da auch saemtliche Kommentare verkneifen wuerdest. Danke.

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@Fakename:

Bitte, wenn Du drauf bestehst. Ist Deine Sache. Erwarte bloss keine gescheite Antwort auf Deine Muellanfrage. 

Kannst Du bitte versuchen das nächstes Mal freundlicher zu formulieren. Ist ja nicht so, dass der Fragesteller das Forum innerhalb von Minuten mit sinnlosen Fragen zuspammt, sondern nicht in der Lage war zu vermitteln, was gefragt ist.

@burakyx1:

Bitte gib stets die komplette Fragestellung wieder. Gerne auch zusätzlich (!) mit einem Bild, wenn Du die Frage nicht 1 zu 1 wiedergeben kannst (zwecks Latex etc). Das beschleunigt den Antwortvorgang und stoppt unnötiges Nachfragen ;).

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"Bei Dir sehe ich null Fragen und null Antworten. " wen willst du damit beeindrucken? i'm neither impressed nor amused.

"Es waere angebracht," wie letztes mal schon geschrieben tun umlaute nicht weh

"wenn Du Dir da auch saemtliche Kommentare verkneifen wuerdest." wieso? darf jemand nur filme kritisieren wenn er selbst schon welche gedreht hat? merkste selber, ne?

unbekannt hat alles gesagt.

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Grossbuchstaben und Kommas sind auch immer gerne gesehen. Manchen tun sie aber weh.

Da Du mit Mathematik nichts am Hut hast: Welche Absichten verfolgst Du mit Deinen dummen Kommentaren? Kommst Du vielleicht aus der Ecke da? https://en.gendersec.train.tacticaltech.org/

Machen wir ruhig weiter, das ist eh schon der duemmste Thread, den ich in diesem Forum bisher gesehen habe.

Answer 1

ohne Angabe von f(k) ist die Aufgabe nicht lösbar und die Gleichung im allgemeinen auch gar nicht erfüllt. Gib die Original Aufgabenstellung an! Wenn du du nicht in der Lage bist die Aufgabe abzuschreiben, dann stell bitte ein Bild ein.

Comments

Gut danke.Dachte vlt gibt es da irgendeinen trick dabei

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ohne Angabe von f(k) ist die Aufgabe nicht lösbar 

Das macht die Frage doch erst interessant !
Also :  Welche Folgen f(n) erfüllen die angegebene Rekursion ?

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Naja man kann ja Teleskopsummen konstruieren, also wenn f(k) = g(k+2)-g(k) darstellbar ist mit g(0)=1 .

Answer 2

Ich will nur wissen, ob es ohne eine Definition für f möglich ist.

Wenn $f(n)$ beliebig sein soll, so stimmt die Gleichung nicht, wie sich z.B. durch ein einfaches Beispiel leicht zeigen lässt: $$f(n)=0 \space \forall n \in \mathbb{N}_0 \quad \implies \space 0 \ne 0 -1$$

Es ist also eher die Frage, wie $f(n)$ beschaffen sein muss, damit dieser Zusammenhang besteht. Wenn man mal annimmt, dass $$f(0) = f_0, \quad f(1)=f_1$$ ist, dann kann man wegen $$f(n+1) = \sum_{k=0}^{n-1} f(k) + 1$$ die folgende Werte von $f(n) \, n\in \mathbb{N}$ direkt berechnen: $$\begin{aligned} f(0) &= f_0 \\ f(1) &= f_1 \\ f(2) &= f_0 + 1 \\ f(3) &= f_0 + f_1 + 1\\ f(4) &= 2f_0 + f_1 + 2 \\ f(5) &= 3f_0 + 2f_1 + 3 \\ f(6) &= 5f_0 + 3f_1 + 5 \\ f(7) &= 8 f_0 + 5 f_1 + 8\end{aligned}$$

Da liegt der Verdacht nahe, dass $f(n)$ wie folgt aussieht: $$f(n) = F(n-1) (f_0+1) + F(n-2) f_1, \space k \ge 2$$ wobei $F(n)$ die Fibonacci-Folge ist - mit der Bildungsregel $$F(0)=0, \space F(1)=1, \space F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$ und dies kann man per Induktion beweisen. Der Induktionsanfang steht schon oben - bleibt der Induktionsschritt: $$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n} f(k) &= \sum_{k=0}^{n-1} f(k) + f(n) \\ &= f(n+1) + f(n) -1 \\ &= F(n) (f_0+1) + F(n-1) f_1 + F(n-1) (f_0+1) + F(n-2) f_1 - 1 \\ &= (F(n) + F(n-1))(f_0+1) + (F(n-1)+F(n-2)) f_1 - 1\\ &= F(n+1)(f_0+1) + F(n)f_1 - 1 \\&= f(n+2) - 1 \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$

Anmerkung: setze $a=f_0+1$ und $b=f_1$, dann ist $$\begin{aligned} f(0) &= a-1 \\ f(1) &= b \\ f(n) &= F(n-1)a + F(n-2)b \quad n \ge 2 \end{aligned}$$

Anmerkung (2): Für $F(n)$ kann man auch die Formel von Moivre/Binet einsetzen: $$F(n)= \frac{\Phi^n - \Phi^{-n}}{\sqrt{5}}, \quad \Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ Gruß Werner

Comments

Es ist zwingend f(1)=1.

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Es ist zwingend f(1)=1.

Ich habe es mit $f_0=1$ und $f_1=2$ probiert; das geht ohne Probleme. Klär mich mal auf!

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Für n=0 steht links die leere Summe, die hat den Wert 0.

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Für n=0 steht links die leere Summe, die hat den Wert 0.

das hatte ich mir gedacht, dass Du darauf anspielst.

Ich bin der Meinung, dass die Summe nur für $n\ge 1$ definiert ist. Aber das ist letztlich von der genauen Aufgabenstellung abhängig. Der Definitionsbereich von $n$ ist nicht angegeben.