Question

Wie kann die Zahl 85 in drei Quadratzahlen zerlegt werden?

Answer 1

Die größte Quadratzahl < 85 ist 81=9².

Lässt sich 85 darstellen als 9²+a²+b²?

Falls 9² nicht verwendet wird: 8²=64.

Lässt sich 85 darstellen als 8²+a²+b²?

Falls 9² und 8² nicht verwendet wird: 7²=49.

Lässt sich 85 darstellen als 7²+a²+b²?

Falls 9² und 8² und 7² nicht verwendet wird: 6²=36.

Lässt....

So findest du alle möglichen Tripel von Quadratzahlen mit der Summe 85.

An die Arbeit!

Comments

Danke.

Das habe ich schon alles ausprobiert.

Die Zahl 85 sollte sich nach dem "Drei-Quadrate-Satz" eben in die Summe dreier Quadratzahlen zerlegen lassen.

Ich finde die Zerlegung aber nicht.

Answer 2

7²+6²+0² = 85

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Comments

Nicht die einzige Lösung.

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Danke.

Die Frage war vielleicht nicht korrekt formuliert.

Es sind nur Quadrate von natürlichen Zahlen gemeint; die Null zählt nicht dazu.

S.o.

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Es sind nur Quadrate von natürlichen Zahlen gemeint; die Null zählt nicht dazu.

Ein Tripel der Form $x^2+y^2+z^2=85$ mit $x,y,z \in \mathbb{N}$, existiert nicht. Siehe meine Antwort.

Answer 3

Hallo ,

8² +5² -2²  =85

Comments

Keine Ahnung, ob da auch Differenzen gemeint waren. Es gibt auf alle Fälle noch eine Summe.

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Danke.

Differenzen sind nicht mit gemeint.

S.o.

Answer 4

Der Drei-Quadrate-Satz schließt die 0 mit ein. Genauer:

Es gibt ein Tripel $x, y, z \in \mathbb{N}_0$ mit $n = x^2 + y^2 + z^2$, wenn $n$ nicht von der Form $n = 4^a(8b + 7)$ mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ ist.

Für die 85 existieren die Tripel $$85 = 0^2 + 2^2 + 9^2 \space = 0^2 + 6^2 + 7^2$$ Ein Tripel, welches die 0 nicht enthält, existiert nicht.

Beweis: Für jede Quadratzahl $q=n^2$ gilt $$q \equiv r \mod 8 \quad r \in \{0,1,4\}$$ Da $85 \equiv 5 \mod 8$ ist, muss in dem Tripel $\{x,y,z\}$ mit $x^2+y^2+z^2=85$ jeder Rest $r \in \{0,1,4\}$ genau einmal vorkommen. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit muss also gelten $$x^2 \equiv 0, \quad y^2 \equiv 4, \quad z^2 \equiv 1 \mod 8$$ Für ein $x \lt 10$ und $x \in \mathbb{N}$ kommen nur die Zahlen $x \in \{4,8\}$ in Frage. Entsprechend gilt $y \in \{2,6\}$. Für ein $z^2$ gibt es so nur vier Varianten: $$z^2 = 85 - 4^2 - 2^2 = 65 \\ z^2 = 85 - 4^2 - 6^2 = 33 \\ z^2 = 85 - 8^2 - 2^2 = 17 \\ z^2 = 85 - 8^2 - 6^2 \lt 0$$ keine der vier Varianten führt zu einem $z^2$ mit  $z \in \mathbb{N}$.

Comments

Ich musste den "Drei-Quadrate-Satz" nach GAUSS noch mal nachlesen und habe jetzt erst gesehen, dass er lautet "n=x²+y²+z²", falls ... , mit: x,y,z Element Z, also die Null ist doch dabei.

By the way: das heißt ja wohl also auch, dass jede Zahl, die sich als Summe zweier Quadrate darstellen lässt, sich auch als Summe dreier Quadrate darstellen lässt.