Untergruppe U. Für jedes g∈G sei U • g := {u • g / u∈U}

Question

Ich bearbeite momentan das Thema Gruppen sowie Untergruppen und scheitere an folgender Beispielaufgabe:

Seien (G; •) eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Für jedes g∈G sei U • g := {u • g / u∈U}

Zeigen Sie
(a) Wenn a∈U ist, ist U • a = U.
(b) Wenn b∈G\U ist, dann ist U • b ≠ U

Answer 1

Zeigen Sie
(a) Wenn a∈U ist, ist U • a = U.

Sei a∈U  .   zur Inklusion  ⊆

Sei  x ∈  U • a   ==>  Es gibt u∈U  mit x = u• a

da  a∈U  und  u∈U  ist auch  u• a ∈U , also x ∈  U

zu ⊇ :   Sei x ∈  U

Betrachte  das inverse El.  a^(-1)  von a,

das ja auch in U ist , und verknüpfe es mit x, dann hast du

x • a^(-1)  und das ist auch in U, also ist

(x • a^(-1) )• a  in  U • a  und wegen der

Assoziativität und der Def. des Inversen auch  x ∈  U • a   .

Also   U =  U • a

(b) Wenn b∈G\U ist, dann ist U • b ≠ U

Wähle das neutrale El.  e ∈ U, dann hast du

             e • b   ∈. U • b also   . b   ∈. U • b,

aber b nicht in U.