Skalarprodukt und Vektorprodukt

Question

Für \( x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \) setzen wir Jx = \( \begin{pmatrix} -x2\\x1\\ \end{pmatrix} \).

Dann beschreibt j: R² → R²: x → Jx eine Drehung um π/2. Zeigen Sie die folgende Aussage über Vektoren des R²:

(a) Zwei Vektoren u, v ∈ R² sind genau dann linear abhängig, wenn gilt ⟨u Ι Jv⟩=0.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen über Vektoren des R³:

(b) Für alle u,v,w ∈ R³ gilt ⟨u Ι v x w ⟩ = ⟨ v Ι w x u ⟩ = ⟨ w Ι u x v ⟩.

(c) Sind u,v,w ∈ R³ linear abhängig, dann gilt ⟨ u Ι v x w ⟩ = 0.

Ich bitte darum, die Lösungen verständlich zu schreiben.

Answer 1

Hallo immai,

(a) Zwei Vektoren u, v ∈ R² sind genau dann linear abhängig, wenn gilt ⟨u Ι Jv⟩=0.

ich unterstelle zunächst mal,dass es sich bei \(\left< a\mid b\right>\) um das Skalarprodukt handelt. Dann setze ich $$u = \begin{pmatrix} u_x\\ u_y \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}$$ und setze es einfach in den obigen Term ein: $$\left< u \mid \text{J}v\right> = \left< \begin{pmatrix} u_x\\ u_y \end{pmatrix} \middle| \begin{pmatrix} -v_y\\ v_x \end{pmatrix}\right> = -u_x v_y + u_y v_x = 0 \\ \implies u_xv_y = u_yv_x \implies \frac{u_x}{v_x}=\frac{u_y}{v_y}$$Wenn ich nun \(u_x/v_x = k\) setze, dann wäre \(u_x = kv_x\) und genauso \(u_y=kv_y\) und der Vektor \(u\) $$u=\begin{pmatrix} u_x\\ u_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kv_x\\ kv_y \end{pmatrix} = kv$$ ein Vielfaches von \(v\) und damit sind beide Vektoren linear abhängig. q.e.d.

(b) Hier hilft stupides Einsetzen: $$\left< u \middle| v \times w\right> \\ \space = \left< \begin{pmatrix} u_x\\u_y \\ u_y \end{pmatrix} \middle| \begin{pmatrix} v_x\\v_y \\ v_y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_x\\w_y \\ w_y \end{pmatrix} \right>\\ \space = \left< \begin{pmatrix} u_x\\u_y \\ u_y \end{pmatrix}\middle| \begin{pmatrix} v_yw_z - v_zw_y\\ v_zw_x - v_xw_z \\ v_xw_y - v_yw_x \end{pmatrix} \right> \\ \space = u_x(v_yw_z - v_zw_y) + u_y(v_zw_x - v_xw_z) + u_z(v_xw_y - v_yw_x) \\ \space = u_xv_yw_z - u_xv_zw_y + u_yv_zw_x - u_yv_xw_z + u_zv_xw_y - u_zv_yw_x$$ es kommt jedes mal dasselbe heraus, egal mit welchem von den drei Termen Du beginnst. Schaue Dir mal meine Antwort hier an, wenn Du unsicher mit dem Kreuzprodukt bist.

(c) sind drei Vektoren \(u\), \(v\) und \(w\) linear abhängig, so kannst Du einen von ihnen als Linearkombination der beiden anderen ausdrücken. Es muss also gelten $$w = r u +s v$$ wobei \(r\) und \(s\) Skalare sind, also z.B. \(r,s \in \mathbb{R}\). Wieder einsetzen: $$\left< u \middle| v \times w\right> \\ \space = \left< u \middle| v \times (r u +s v)\right> \\ \space = \left< u \middle| r(v \times u) +s\underbrace{( v \times v)}_{=0}\right> \\ \space = \left< u \middle| r(v \times u) \right>$$ ... und hier könnte man schon aufhören, da \(v \times u\) senkrecht auf \(u\) steht und das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren ist =0. Wer's nicht glaubt, kann es auch ausrechnen: $$ \space = \left< \begin{pmatrix} u_x\\u_y \\ u_y \end{pmatrix} \middle| r\begin{pmatrix} v_yu_z - v_zu_y\\v_zu_x - v_xu_z \\ v_xu_y - v_yu_x \end{pmatrix}\right> \\ \space = r(u_x(v_yu_z - v_zu_y) + u_y(v_zu_x - v_xu_z) + u_z(v_xu_y - v_yu_x)) \\ \space = r( \textcolor{#00f}{u_xv_yu_z} - \textcolor{#00aa00}{u_xv_zu_y} + \textcolor{#00aa00}{u_yv_zu_x} - u_yv_xu_z + u_zv_xu_y - \textcolor{#00f}{u_zv_yu_x}) \\ \space =0$$

Terme gleicher Farbe heben sich zu 0 auf. Das Ergebnis ist =0.

Gruß Werner

Comments

für b habe ich das hier raus?

richtig falsch?

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richtig falsch?

relativ falsch und unzureichend. Lt. Aufgabenstellung sollen \(u\), \(v\) und \(w\) Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) sein.  Zitat:

b) Für alle u,v,w ∈ R³ gilt ...

Falsch ist, dass bei (b) nichts \(=0\) ist, das kommt erst bei Aufgabe (c) dran. Und das Kreuzprodukt in \(\mathbb{R}^2\) ist nicht wirklich definiert, und bestenfalls die dritte Koordinate eines Vektors. Aber kein Vektor in \(\mathbb{R}^2\), so wie Du es schreibst. Es ist $$\left< u \middle| v \times w \right> = \left< v \middle| w \times u \right> = \left< w \middle| u \times v \right> \\ \space = u_xv_yw_z - u_xv_zw_y + u_yv_zw_x - u_yv_xw_z + u_zv_xw_y - u_zv_yw_x$$ jedes Produkt \(u_iv_jw_k\) kommt in jeder Permutation von \(i,j,k\) genau einmal vor und dies ist letztlich das Spatprodukt. Nur die Reihenfolge der Vektoren entscheidet noch über das Vorzeichen.

PS.: Tipps für's Foto: Smartphone parallel zur Fläche halten, die fotographiert werden soll. Auf seitliche Beleuchtung achten (kein Schatten). Bildausschnitt so wählen, dass möglichst nur der interessante Teil auf dem Bild ist.

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Kannst du mir es gelöst zeigen bitte?

Ich werde es natürlich versuchen ^^

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Kannst du mir es gelöst zeigen bitte?

ich habe meine Antwort vervollständigt (s.o.)

Answer 2

(a) Zwei Vektoren u, v ∈ R² sind genau dann linear abhängig, wenn gilt

Es gibt ein a ∈ ℝ mit u=(u1,u2) und v=(a*u1,a*u2)

Dann ist ja Jv = ( -au2 , au1 ) und das Skalarprodukt

<u|Jv> = u1*-au2 +  au1*u2 = 0   .

b) Ansatz: u=(u1,u2,u3) , v= (v1...)  w=(…) und dann

einfach beides anhand der Definition nachrechnen. siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung

c)  entsprechend zu b z.B. mit u=(av1+b*w1, a*v2 + b*w2, a*v3+b*w3)