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Aufgabe:

Berechnen Sie für \( n \in \mathbb{N} \) die Summe

\( S_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} k^{2} \)

mit Hilfe der Teleskopsumme \( \left(a_{k}=k^{3}\right) \), d.h. ohne vollständige Induktion.

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Die Summe der ersten n Quadratzahlen ist etwas Kubisches. Man kann das mit einer Pyramide vergleichen. Daher vielleicht der Ansatz mit n^3 . Beweise mit vollständiger Induktion gibt es hier schon viele. Bsp. https://www.mathelounge.de/577082/beweis-per-vollstandigen-induktion-1-2-3-n-n-n-1-2n-1-6

1 Antwort

+3 Daumen

Habe - glaube ich - verstanden was da gemacht werden soll:

Du sollst wohl folgende Teleskopsumme betrachten

$$s=\sum \limits_{k=1}^{n}( k^3 - (k-1)^3 ) $$

Da bleibt ja nur n^3 übrig, weil sich alle anderen

Teile gegeneinander aufheben, also hast du

$$n^3 =\sum \limits_{k=1}^{n}( k^3 - (k-1)^3 ) $$

und jetzt mal die Summanden vereinfachen, also

$$n^3 =\sum \limits_{k=1}^{n}( k^3 - (k^3 -3k^2 + 3k -1)) =\sum \limits_{k=1}^{n}(3k^2 - 3k +1)) $$

Und da machst du jetzt drei Summen draus und hast

$$n^3 =3*\sum \limits_{k=1}^{n}k^2 -3*\sum \limits_{k=1}^{n}k+ \sum \limits_{k=1}^{n}1$$

Die letzte Summe besteht nur aus n Einsen, gibt also n und die

Summenformel für die Summe über k darfst du ja wohl verwenden, also hast du

$$n^3 =3*\sum \limits_{k=1}^{n}k^2 -3*\frac{n*(n+1)}{2}+n$$

Und das jetzt so umstellen, dass die Summe alleine steht gibt

$$\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}=3*\sum \limits_{k=1}^{n}k^2  $$

und wenn du jetzt noch durch 3 teilst, hast du die Formel.

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