Kurvenpunkt Tangente parallel zur Sehne

Question

Auf der Kurve von y = 1/3*x^3-2x+1 werden die Punkte P1 und P2 mit Abszissen x1 = 1 und
x2 = 3 durch eine Sehne verbunden. In welchem Kurvenpunkt läuft die Tangente parallel zur
Sehne?
Problem/Ansatz:

Wie gehe ich am besten vor ?

Zuerst die Ableitung machen und wie weiter ?

Vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

Zuerst die Ableitung machen und wie weiter ?

Ja - bestimme die Ableitung: $$y'=x^2-2$$ und dann bestimme die Steigung \(m\) der Sehne, die durch \(P_1\) und \(P_2\) verläuft.$$P_1=(1|y(1)) = (1|-\frac 23) \\ P_2 = (3| y(3)) = (3|4) \\ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{4 - (-\frac 23)}{3-1} = \frac{7}{3}$$nun setze die Steigung in die Ableitung ein, um den gewünschten Kurvenpunkt \(x_s\) zu bestimmen.$$y'(x_s) = x_s^2 -2 = \frac 73 \\ \implies x_s = \pm\sqrt{\frac {13}3} \approx \pm 2,082$$ In Plotplux sieht das so aus:

~plot~ x^3/3-2x+1;{1|-2/3};{3|4};[[-5|5|-5|5]];7(x-3)/3+4;{2.082|-0.1565};7(x-2.082)/3-0.1565;{-2.082|2.1565};7(x+2.082)/3+2.1565 ~plot~

Du bekommst also zwei Lösungen.

Gruß Werner

Comments

Die Steigung hatte ich auch raus, aber ich wusste nicht wie ich das weiter rechnen soll.

Vielen Dank Werner

Answer 2

Die Grundidee ist, dass du die Steigung der Sehne ausrechnest und dann mittels der Ableitung den Punkt findest, der der die selbe Steigung hat. Dann musst du die Tangente an diesem Punkt bestimmen.

Gruß

Smitty

Answer 3

Funktionswerte ausrechnen: f(1)=-2/3; f(3)=4 P₁(1|-2/3); P₂(3|4)

Steigung der Gerade P₁P₂ (4+2/3)/(3-1)=7/3

Wo hat der Graph von f die Steigung 7/3?

f '(x)=x²-2

x²-2=7/3

x_1/2=±√39/3