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IMG_1377.jpg

Hallo. Wie muss ich hier die Radien mit den Quadratseiten ins Verhältnis setzen?

Kartesisch/ rechnerisch, d.h. überlegen Sie an Hand des Bildes, welche
Beziehungen zwischen der Länge der Quadratseite und den Radien der beiden
Innenkreise (r und R) besteht. Berechnen Sie damit die Radien der beiden inneren
Kreise.

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Hallo patlican68,

Zeichne vom Mittelpunkt \(M_1\) des kleinen Kreises eine Verbindung zum Punkt \(B\) des Quadrats.

Skizze.png

Der Mittelpunkt der unteren Quadratseite \(a=AB\) sei \(M_a\). Dann ist \(\triangle M_aBM_1\) ein rechtwinkliges Dreieck. Der Radius des kleinen Kreises sei \(r_1\) (gelb) und die Quadratseite habe die Länge \(a\) (rot). Nach Pythagoras ist dann $$\begin{aligned}\left(\frac a2\right) ^2 + (a-r_1)^2 &= (a+r_1)^2 \\\frac 14 a^2 + a^2 - 2ar_1 + r_1^2 &= a^2 +2ar_1 +r_1^2 \\ \frac14 a^2 &= 4ar_1 \\ r_1 &= \frac 1{16 }a\end{aligned}$$

Zeichne nun vom Mittelpunkt \(M_2\) des größeren Kreises (grün) ebenso eine Verbindung nach \(B\).

Skizze5.png

Der Radius dieses Kreises sei \(r_2\) (grün). Wieder ist das Dreieck \(\triangle M_aBM_2\) ein rechtwinkliges. Pythagoras anwenden: $$\begin{aligned} \left( \frac a2\right)^2 + \left( \frac a2 + r_2 \right)^2 &= (a-r_2)^2 \\ \frac14 a^2 + \frac14 a^2 + ar_2 + r_2^2 &= a^2 - 2ar_2 + r_2^2 \\  3 ar_2  &= \frac 12 a^2 \\ r_2  &=  \frac 16 a \end{aligned}$$ Gruß Werner

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