Ungleichung beweisen: ex/(1+x) ≤ 1+x

Question

Aufgabe:

Beweise die Ungleichungen:

$$e^{\frac{x}{1+x}}\leq 1+x$$

und

$$\frac{x}{1+x}\leq ln(x+1)\leq x$$

für alle $$x \in (-1, \infty)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe gedacht ähnlich wie $x+1 \leq e^x$ mit dem Mittelwertsatz, das war die vorangehende Aufgabe. Aber nach einigen Stunden herum Probierens, auch mit Umstellungen zwischen ln und exp, weiß ich nicht weiter und komme auf keine Lösung.

Comments

(falsch gelesen)..

Nach Bernoulli gilt für jede reelle Zahl $x \geq -1$ und jede nicht negative Ganze Zahl $n\geq 0$:

$(1+x)^n\geq 1+nx$

Abgewandelte Bernoullische Ungleichung:$$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1+n\cdot \frac{x}{n}=1+x$$ Hierbei muss $\frac{x}{n}\geq -1$ für ein ein hinreichend großes $n$. Und da:$$e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ gilt deine Ungleichung für alle $x\in \mathbb{R}$.

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nein, sie gilt nur für $$x \in (-1, \infty)$$

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Ich habe $x+1 \leq e^x$ gemacht.

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ach das meinst du mit falsch gelesen :-)

Interessanter Ansatz, ich habe das mit dem MWS gelöst. Deins sieht eleganter aus! Und wenn es nun für negative Zahlen gelten soll?

Answer 1

Für x>0 geht das erste wohl so:

Sei f(x) = exp( x / (1+x) )

Dann ist f ' (x) =   exp( x / (1+x) )  / (x+1)² .

Und Mittelwertsatz angewandt auf [ 0 ; x ] gibt:

Es gibt ein a ∈  ]0 ; x [  mit  f ' (a) =  ( f(x) - f(0) ) / ( x-0 ) .

Wegen f ' (a) ≤ 1 für alle a>0 also

             (    f(x) - f(0) )   /   x  ≤ 1

also      exp( x / (1+x) )  - 1  ≤   x              q.e.d

Comments

Wieso ist f(0) =1?

Warum ist f ' (a) ≤ 1 für alle a>0?

Genau diesen Beweis habe ich für $$e^x \geq x+1$$ verwendet.

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Wieso ist f(0) =1?

f(0) =  exp( 0 / (1+0) ) = exp(0) = 1

Warum ist f ' (a) ≤ 1 für alle a>0?

Es ist ( analog zu oben)

f '(0) =  exp( 0 / (1+0) )  / (0+1)²

        = exp(0) / 1   = 1

und wegen f ' ' (x) < 0 für alle x>0 ist f ' monoton fallend,

also immer kleiner oder gleich f ' (0) .

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O ja, wie peinlich! Das habe ich einfach übersehen. Danke dir für die schnelle Antwort!

Und was mache ich mit x ≤ 0?

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Also, ich habe jetzt für den zweiten Beweis das Folgende:

Da $$e^\frac{x}{1+x} \leq x+1 \leq e^x$$ gilt, wende ich $$ln$$ auf die Ungleichung an und erhalte $$ln(e^\frac{x}{1+x}) \leq ln(x+1) \leq ln(e^x)$$. Das entspricht $$\frac{x}{1+x} \leq ln(x+1) \leq x$$.

Aber leider verstehe ich immer noch nicht was ich beim ersten Beweis für $$x \in (-1,0]$$ machen soll. So ist das Intervall in der Aufgabe vorgegeben und wenn ich es richtig verstehe ist mathefs Antwort nur für x>0 oder?

Answer 2

Hallo

t(x)=1+x ist die Tangente bei x=0 an  f(x)=exp(x/(1+x)), die Steigung ist für x>0 kleiner 1 die Funktion bleibt unter der Tangente für x<0 ist die Steigung erst mal >1 dann geht die Funktion schnell gegen 0 für x gegen -1

entsprechend mit dem ln, der auch unter seiner Tangente liegt.

Gruß lul