In welchen Punkten x∈[0, 1] ist diese Funktion stetig?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f:[0, 1]-->ℝ  f(x):=x, falls x∈[0,1]∩ℚ bzw. 0 falls x∈[0, 1]∩ℝ\ℚ

Aufgabe: Bestimmens Sie alle Punkte in denen die Funktion stetig ist.

Problem/Ansatz:

Als Tipp ist gegeben, dass sowohl ℚ, als auch ℝ\ℚdicht sind. Also dass es für alle r∈ℝ, für alle ε∈ℝ>0 ein x∈[0, 1]∩ℚ bzw. ∩ℝ\ℚ gibt, so dass |r-x|<ε gilt.

Daher meine Vermutung, dass ich hier das ε-δ-Kriterium benutzen muss. Ich habe aber keine Idee, wie ich diesen Beweis führen soll.

Answer 1

Wir zeigen f ist nur in \( x=0 \) stetig.
Sei \(\epsilon>0\), dann gilt für  \( \delta :=\epsilon /2 \) und alle  \(y \in [0,\delta) \)
\( |f(0)-f(y)|=|f(y)|< \epsilon\).
Denn ist  \( y \in \mathbb Q\), so ist 
\( |f(y)|=|y|=y<\epsilon /2<\epsilon \).
Ist  \( y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q\), dann
\(|f(y)|=0<\epsilon\). qed.

Sei \( x_0 \in [0,1]\) weiterer Punkt, wo f stetig ist.
Wegen der Dichtheit finden wir Folge \( (q_n)_n\) in \( \mathbb Q \cap [0,1]\) mit 
\( q_n \to x_0\).
Analog gibt es eine Folge \( (c_n)_n\) in  \([0,1] \cap\mathbb R \setminus \mathbb Q \)  mit
\( c_n \to x_0\).
Da f insbesondere folgenstetig in \( x_0\) ist, gilt :
\( x_0=\lim q_n= \lim f(q_n) = f( \lim q_n)=f(x_0)= f(\lim c_n)=\lim f(c_n)=0\)
\( \therefore 0 \) ist der einzige Punkt wo f stetig.

Comments

Warum gilt \(\large\vert f(x)-f(y)\vert=1\) ?

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Ach, tut mir leid, dachte f wär die Dirichlet Funktion. Werde zeitnah antwort verändern, sorry>_<

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Okay, jetzt aber bezieht sich mein Antwort auf die Frage :)