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Also die Aufgabenstellung lautet:

Seien U1, U2, U3 drei Unterräume in V, Zeigen Sie, dass 

dim U1+dim U2+dim U= dim(U1+U2+U3)+dim((U1+U2)∩U3)+dim(U1∩ U2).

Mir ist es klar dass es gilt, weil die dim von den Unterräumen unterschiedlich sein können aber gleiche Vektoren enthalten können, wodurch die rechte Seite etwas komplizierter aussieht. Ich weis nur überhaupt nicht wie ich beim Beweis vorgehen soll, deswegen bitte ich um Hilfe bei einem Ansatz. Danke im Voraus 

Gefragt von

3 Antworten

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sei z.B V=U1+U2 dann kannst du die Dimensionsformel benutzen.
Beantwortet von
ah hab die dim formel total vergessen, danke :)

ehm bin jetzt soweit gekommen:

"=>"Sei W=U1+Uund dim W = dim U1+ dim U2.

Nach Dimensionsformel gilt:

dim W+ dim U3 = dim (W+U3)+dim(W∩U3) => dim U1+ dim U2+ dim U= dim (U1+U2+U3)+dim((U1+U2)∩U3 )

Ich komme aber nicht drauf, wieso auf der rechten seite am ende noch steht "+dim (U1∩U2)"

hab versucht es anders aufzulösen aber es klappt trzdm nicht-.-

 dim(W+U3) = dimW + dimU3 - dim(W schintt U3) 

dann bleibt noch dim(U1+U2) + dim(U3) + dim(U1 schnitt U2) 

dim(U1 schnitt U2) nach Dimensionsformel und du hast L=R

habs grade raus gehabt, danke nochmal^^
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Nach Dimensionsformel gilt:
dim(a + b) = dim(a) + dim(b) - dim(a ∩ b)

Wenn w = v1 + v2 gilt, dann schreiben wir:
dim(w) = sim(v1 + v2) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2)

Da w + v3 = v1 + v2 + v3
dim(w + v3) = dim(w) + dim(v3) - dim(w ∩ v3)

Hier setzte ich für dim(w) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2) ein
dim(w + v3) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2) + dim(v3) - dim(w ∩ v3)

Nun ersetze ich noch w durch v1 + v2
dim(v1 + v2 + v3) = dim(v1) + dim(v2) - dim(v1 ∩ v2) + dim(v3) - dim((v1 + v2) ∩ v3)

Wir sortieren das und erhalten:
dim(v1 + v2 + v3) + dim((v1 + v2) ∩ v3) + dim(v1 ∩ v2) = dim(v1) + dim(v2) + dim(v3)

Das ist jetzt genau das, was zu zeigen war.
Beantwortet von 264 k
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Ich hab die vorletzte antwort und den weg immer noch nicht verstanden. Dringende bitte um aufklärung pls!
Beantwortet von
Ich auch nicht :(
Ich habe es versucht es nochmal genau herzuleiten.

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