Abschätzung mit Logarithmus

Question

Aufgabe:

$$\text {Zeigen Sie, dass für } x > 1 \text { die Abschätzung } \ln ( x ) + \frac { 1 } { \sqrt { x } } < \sqrt { x } \text { gilt. }$$

Problem/Ansatz:

?

Comments

Zeige z.B., dass die Funktion \(h(x)=\sqrt x-\frac1{\sqrt x}-\ln(x)\) für \(x>0\) streng monoton steigend und \(h(1)=0\) ist.

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Wieso denn $$- \frac { 1 } { \sqrt { x } }$$? Muss ich den ersten Teil zum zweiten Teil rüberziehen? Hatte es vorher mit $$\sqrt { x } + \frac { 1 } { \sqrt { x } } - \ln ( x ) < 0$$ versucht, indem ich einfach √x abgezogen hatte. Darf ich das so also nicht machen?

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Da musst du dich verrechnet haben. Deine letzte Ungleichung hat keine Lösung.

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Ja, das hatte ich dann auch lernen müssen. Aber wieso ist es denn -1/√x? Hast du einfach den rechten Teil minus ln(x) und -1/√x gerechnet, um darauf zu kommen?

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Ja. Die Aussage ist gezeigt, wenn die so entstandene Funktion streng monoton steigend ist und an der Stelle 1 den Wert 0 annimmt.

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Okay, irgendwie komme ich trotzdem nicht ganz weiter, entschuldige.

Wenn ich die Ableitung so berechne, komme ich auf etwas, das keine Nullstellen hat - ich habe aber vorher noch nie die Steigung von etwas zeigen müssen, das keine Nullstellen in der ersten Ableitung hat?

Meine Ableitung ist: $$\frac { x ^ { 2 } - 2 x ^ { \frac { 3 } { 2 } } + x } { 2 x ^ { \frac { 5 } { 2 } } }$$

Grundsätzlich verstehe ich dank dir die Problematik, nur das Umsetzen lässt gerade zu wünschen übrig. :/

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Hab's inzwischen rausgefunden, hatte da einen ziemlichen Denkfehler drin.. :D

Vielen Dank für deine Hilfe!