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Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Begrunden ¨
Sie bitte mit den jeweiligen Definitionen der Begriffe.

• an = \( \frac{1}{3} \) + \( \frac{1}{2n} \) für n ∈ N

• bn = n - 2n für n ∈ N

• cn = \( \frac{n + 2}{n + 1} \) für n ∈ N


Problem/Ansatz:

Im skript wird keine Berechnung dazu gezeigt bzw. ich weiß deswegen wirklich nicht wie ich das berechnen soll und herausfinden soll. Im Internet wurde zwar erklärt aber irgendwie habe ich dort auch nicht verstanden wie die drauf gekommen sind, also die haben es nicht so richtig erläutert. Bin gerade voll am Ende und weiß wirklich nicht weiter.

Ich bitte um hilfe..

Rejes

von

2 Antworten

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Ich habe es nicht 1000 % mathematisch korrekt, aber vielleicht hilft es dir, anzuschauen, wie sich die Folgen für bestimmte Werte verhalten.


1 /3 + 1/2n . Je größer n wird, desto eher nährt sich die Folge an 0,333333. n konvergiert also gegen 0,333333

Die Folge ist monoton fallend, denn sie wird immer kleiner und nähert sich an 0,333333 (bloß sieht man die letzten Nachkommastellen nicht mehr, wenn man es im TR eingibt, weil es so minimale Unterschiede sind).

Die Folge ist nach unten beschränkt, denn sie geht nie unter 0,3333

Sie ist nach oben beschränkt, weil sie nie größer als 0,8333 wird.

bn)  Die Folge bn wird für steigende n immer gröpßer. Sie ist monoton wachsend.

Sie ist nach unten beschränkt, denn wenn du die kleinste natürliche Zahl, also die 1 (oder im Hetterich-Universum die 0) einsetzt, wird der Wert der Folge nie kleiner als -1.

cn) So, die Folge nähert sich immrr mehr der 1. Konvergiert also gegen 1.

Sie ist nach oben beschränkt, weil egal welchen Wert du einsetzt, es kommt nie eine Zahl größer als 5 raus.

Sie ist nach unten beschränkt, weil egl welchen Wert du einsetzt, es kommt nie eine Zahl kleiner als 1,0000000 raus.

Bei an) und cn) bin ich mir nicht sicher, ob man bei einer Annhäherung zu einem Wert von Konvergenz oder Divergenz spricht. Im Skriptum heißt es "Folgen, die nicht konvergieren lassen sich in zwei Klassen unterteilen. Dabei wachsen/fallen die einen über/unter jeden erdenklichen Wert und unter/überschreiten diesen ab einem betimmten Index nicht mehr. Die Folgen divergieren bestimmt" ....ist das nicht dasselbe wie konvergent?

von
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image.jpg Hier hast du Monotonie geht analog für bn und cn

von

Anaimage.jpganalog für bn und cn Grenzwerte bestimmen

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