Partitionen von Mengen: Zeigen Sie, dass die Vereinigung S=U_i∈I Ai eine Partition der Menge A ist.

Question

Sei \( \mathcal{A}=\left\{A_{i} | i \in I\right\} \) eine Partition der Menge \( A \) und \( \mathcal{A}_{i}=\left\{A_{i, j} | j \in J_{i}\right\} \) eine Partition der Menge \( A_{i} \) für jedes \( i \in I \)
a) Zeigen Sie, dass die Vereinigung \( \mathcal{S}=\cup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} \) auch eine Partition der Menge \( A \) ist. Das ist nicht schwer - der anspruchvollste Teil der Aufgabe besteht darin, alles auf die Definitionen kurück zu führen und sich zu überlegen, welche Punkte denn eigentlich zu beweisen sind. Wenn Sie sich darüber nicht klar sind, lösen Sie zuerst Teil b.
b) Sei \( A=\{1,2, \ldots, 14\} \) unh \( \mathcal{A} \) die Partition von \( A \) bezüglich der Reste beim Teilen durch 3 (beschreiben Sie selbst \( I \) und die Mengen \( A_{i} \) ). Im zweiten Schritt beschreibt \( \mathcal{A}_{i} \) jeweils die Partition von \( A_{i} \) in gerade und ungerade Zahlen. Auch hier sind geeignete Indexmengen \( J_{i} \) zu finden. Bestimmen Sie jetzt die Partition \( \mathcal{S}=\bigcup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} \)

Brauche hier Lösungsansätze bzw. Vorschläge.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt:

Teil a: Zeigen, dass die Vereinigung \( \mathcal{S}=\cup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} \) auch eine Partition der Menge \( A \) ist.

Um zu zeigen, dass \( \mathcal{S} \) eine Partition von \( A \) ist, müssen wir verifizieren, dass folgende Bedingungen erfüllt werden:
1. Jedes Element von \( A \) befindet sich in mindestens einem Element von \( \mathcal{S} \).
2. Alle Elemente von \( \mathcal{S} \) sind nicht leer.
3. Die Schnittmenge zweier unterschiedlicher Mengen in \( \mathcal{S} \) ist leer.
4. Die Vereinigung aller Mengen in \( \mathcal{S} \) ergibt \( A \).

Für 1: Da \( \mathcal{A}_{i} \) eine Partition von \( A_{i} \) ist, enthält es jedes Element von \( A_{i} \) in genau einer Untergruppe. Da \( \mathcal{A} \) ebenfalls eine Partition von \( A \) ist und jedes \( A_{i} \) enthält, folgt daraus, dass \( \mathcal{S} \), die Vereinigung aller \( \mathcal{A}_{i} \), jedes Element von \( A \) enthält.

Für 2: Alle \( \mathcal{A}_{i} \) sind Partitionen und damit per Definition nicht leer. Folglich sind auch alle Elemente von \( \mathcal{S} \) – als Vereinigungen dieser Partitionen – nicht leer.

Für 3: Angenommen, zwei unterschiedliche Mengen in \( \mathcal{S} \), sagen wir \( A_{i,j} \) und \( A_{k,l} \), hätten eine nicht-leere Schnittmenge. Da \( \mathcal{A}_{i} \) und \( \mathcal{A}_{k} \) Partitionen sind, wäre dies nur dann möglich, wenn \( i=k \) und \( j \neq l \), was gegen die Definition von Partitionen verstößt, da alle Elemente innerhalb einer Partition unterschiedlich und disjunkt sein müssen.

Für 4: Da \( \mathcal{A}_{i} \) die Partition von \( A_{i} \) ist und die Vereinigung aller \( A_{i} \) in \( \mathcal{A} \) die Menge \( A \) ergibt, folgt, dass die Vereinigung aller Partitionen von jedem \( A_{i} \), also \( \mathcal{S} \), die gesamte Menge \( A \) umfasst.

Teil b: Bestimmen der Partition \( \mathcal{S} \) für \( A=\{1,2, \ldots, 14\} \)

Schritt 1: Identifikation der Partition \( \mathcal{A} \).

Da \( \mathcal{A} \) eine Partition von \( A \) bezüglich der Reste beim Teilen durch 3 ist, haben wir drei Indexsets: \( I = \{0, 1, 2\} \).
- \( A_{0} = \{3, 6, 9, 12\} \)
- \( A_{1} = \{1, 4, 7, 10, 13\} \)
- \( A_{2} = \{2, 5, 8, 11, 14\} \)

Schritt 2: Erstellung von \( \mathcal{A}_{i} \) für jedes \( i \).

Jedes \( A_{i} \) wird in gerade und ungerade Zahlen partitiert, also \( J_{i} = \{\text{"gerade"}, \text{"ungerade"}\} \).
- Für \( A_{0} \): Da alle Zahlen durch 3 teilbar und damit durchgehend gerade sind, haben wir hier keine Aufteilung in gerade und ungerade im klassischen Sinne, aber zum Zweck dieser Aufgabe könnte die Partitionierung als Einzelmengen betrachtet werden (obwohl alle Elemente als "gerade" betrachtet werden).
- Für \( A_{1} \) und \( A_{2} \) erfolgt die Partitionierung in gerade und ungerade Zahlen.

Endresultat, \( \mathcal{S} \) umfasst:

- Von \( A_{0} \): Keine Aufteilung, da alle Zahlen gerade sind.
- Von \( A_{1} \): Eine Partition in ungerade Zahlen \( \{1, 7, 13\} \) und eine für \( \{4, 10\} \).
- Von \( A_{2} \): Eine Partition in gerade Zahlen \( \{2, 8, 14\} \) und eine für \( \{5, 11\} \).

Zusammengefasst, \( \mathcal{S} \) besteht aus:
- \( \{3, 6, 9, 12\} \)
- \( \{1, 7, 13\} \)
- \( \{4, 10\} \)
- \( \{2, 8, 14\} \)
- \( \{5, 11\} \)

Jede dieser Mengen ist eindeutig durch ihre Elemente definiert, keine ist leer, sie sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt die ursprüngliche Menge \( A \), womit bestätigt wird, dass \( \mathcal{S} \) eine gültige Partition von \( A \) ist.