Bestimme einen Vektor v3 mit ||v3||=1, der orthogonal zu v1 und v2 ist

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

nach über 2 Stunden Rumprobieren bin ich mal wieder am Verzweifeln.

Unser Prof. hat uns vieles über Orthogonalität usw. erklärt. Habe soweit alles verstanden. Formeln angewendet.

Das Problem ist aber, dass wir das immer mit Vektoren gemacht haben, die BEIDE orthogonal zueinander waren.

In der obigen Aufgabe sind v1 und v2 nicht orthogonal und die Formeln, die wir gelernt haben funktionieren da nicht.

Was tun?

Answer 1

nutze doch das Vektorprodukt:

\(\widetilde{v}_3=v_1 \times v_2=\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\)

\(|\widetilde{v}_3|=\sqrt{3}\)

Für \(||v_3||=1\) müssen wir die einzelnen Komponenten noch durch die Länge des Vektors dividieren:

\(v_3=\begin{pmatrix} -1/\sqrt{3}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}\)

Answer 2

Alternativ bezeichne den gesuchten Vektor mit \(v_3=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbb R^3\). Es soll gelten$$\qquad(1)\quad v_1^\top\cdot v_3=0\\\qquad(2)\quad v_2^\top\cdot v_3=0.$$Zu lösen ist also das LGS$$\qquad(1^\prime)\qquad x+z=0\\\qquad(2^\prime)\quad-x+y=0.$$Wähle nun zunächst \(x\in\mathbb R\) beliebig, sowie \(z=-x\) und \(y=x\). Dann lautet der gesuchte Vektor$$v_3=\begin{pmatrix}x\\x\\-x\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}.$$Wähle \(x\) nun so, dass \(v_3\) normiert ist, also \(x=\dfrac{\pm1}{\sqrt3}\).

Answer 3

Nimm das Vektorprodukt von v₁ und v₂ und dividiere es durch seinen Betrag.