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Sei f ein unitärer Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraumes V. Seien λ12 ∈ℂ zwei verschiedene Eigenwerte von f. Sei v1 ein Eigenvektor zu λ1 und v2 ein Eigenvektor zu λ2. Zeigen Sie, dass v1 zu v2 orthogonal ist.

Da v1 ein Eigenvektor zu λ1 und v2 ein Eigenvektor zu λ2 ist gilt:

f(v1)=λ1v1

f(v2)=λ2v2

Wie kann ich jetzt damit zeigen dass die beiden Eigenvektoren orthogonal sind, also <v1,v2>=0 gilt?

von

1 Antwort

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unitärer Endomorphismus  heißt doch  <f(v1),f(v2)> = <v1,v2>

 und mit

f(v1)=λ1v1   und  f(v2)=λ2v2    gibt das

<v1,v2> = <λ1v1,λ2v2  > = <λ1*λ2* <v1,v2  >

==> ( 1 - λ1*λ2)  * <v1,v2  >   = 0

bräuchte man nur noch ein

Argument warum nicht 1 = λ1*λ2 sein kann ???

von 165 k

Danke, das habe ich verstanden.

und es muss gelten 1 ≠λ1*λ2 da sonst die Eigenvektoren linear abhängig wären voneinander und man dann nur einen Eigenvektor bekommen würde? Oder warum sonst?

Und λ1 ≠λ2  gelten muss.

Genau vor dem gleichen Problem stehe ich auch gerade. Warum muss 1 ≠λ1*λ2?

Ich glaube deine Begründung stimmt nicht Heidiiii aber vielleicht kann uns mathef nochmal weiterhelfen?

Beim unitären Skalarprodukt gilt

<λ1v1,λ2v2  >

=λ1^{*}λ2 <v_1,v_2>

Da die Eigenwerte nicht gleich sind, gilt λ1^{*}λ2≠1



 Das ist ein Toppargument !

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