Sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum (mit n > 0). Orientierung gesucht/Äquivalenzrelation.

Question

Aufgabe:

Sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum (mit n > 0). Wir definieren eine Relation „∼“ auf der Menge der Basen von V: für Basen B, C von V gelte B ∼ C genau dann, wenn det(t_B,C) > 0.

a) Zeigen Sie, dass „∼“ eine Äquivalenzrelation ist. Die zugehörigen Äquivalenzklassen nennen wir Orientierungen von V.
b) Zeigen Sie, dass die Basen

$$\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

verschiedene Orientierungen von R3 repräsentieren.
c) Was hat Teil b) mit der linken und der rechten Hand zu tun? Illustrieren Sie ihre Antwort.
d) Zeigen Sie, dass V genau zwei Orientierungen besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider gar nichts und bin für eure Lösungsvorschläge sehr dankbar!

Comments

Ich bräuchte ebenfalls Hilfe. Verstehe die Aufgabe leider nicht.

Answer 1

Hallo

 die Standardbasis ergibt ein sog.  Rechtssystem, wenn man e1 nach e2 dreht, weisst e3 in die Richtung einer Rechtsschraube, oder mit der rechten Handregel:rechte Hand nehmen Daumen Richtung e1 Zeigefinger Richtung e2  folgt Mittelfinger Richtung e3. die Det der 3 ist positiv, man nennt das Basissystem des halb "rechtsdrehend"

wenn man wie oben x und y vertauscht, wird das System linksdrehend. oder die linke Hand zeigt in der Reihenfolge wie oben die b1,b2,b3 an.

Gruß lul

Comments

Sorry, aber das ist mir alles etwas zu grob und ungenau formuliert. Könntest du das etwas präzisieren auch anhand der Aufgabenteile?