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Hallo.


ich würde gerne mathematisch die Verschiebung eines Koordinatensystems beschreiben können.

Ich habe ein Ursprungkoordinatensystem und das verschobene Koordinatensystem liegt irgendwo in allen drei Richtungen gekippt im Raum.


Wie kann ich das Verhältnis der Koordinatensysteme zueinander exakt beschreiben?


Vielen Dank.

von

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Hallo,

es kommt ein wenig darauf an, was Du anschließend mit dieser Beschreibung machen möchtest. Eine Möglichkeit, die für viele Anwendungen (z.B. Computergraphik, Positionsberechnung, Robotik, u.a.) taugt, ist die Darstellung mit Hilfe einer Transformationsmatrix mit homogenen Koordinaten. Anbei ein kleines Beispiel

Untitled3.png

(klick auf das Bild)

Die zugehörige Transformationsmatrix zur dargestellten Transformation auf dem Bild ist ganz konkret$$\begin{align} {^0}T_1 &= \begin{pmatrix} \vec{n} & \vec{o} & \vec{a} & \vec{p} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0,8 & -0,4& 1 \\ 0& 0,4 & 0,8&2 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}\end{align}$$Die Spalten der Matrix sind die Einheitsvektoren \(\vec{n}\), \(\vec{o}\), \(\vec{a}\) und die Position \(\vec{p}\) des neuen Koordinatensystems (1) im Bezugssystem (0). Der Vorteil liegt darin, dass man durch Hinzufügen einer Dimension aus einer affinen Abbildung eine lineare Abbildung macht. So kann man dann aus einer Koordinate \({^1p}\), die im 1-System gegeben ist, durch einfache Matrix-Vektor-Multiplikation die Koordinate \({^0p}\) im 0-System berechnen$${^0p} = {^0T}_1 \cdot {^1p}$$Die vierte Koordinate von Positionen ist immer =1. Und nach dem Invertieren der Matrix geht es auch umgekehrt. Und man kann diese Matrizen auch kombinieren - wie hier gezeigt wird.

von 18 k
+1 Punkt

Er geht offensichtlich nicht nur um das Verschieben sondern auch um das Drehen eines Koordinatensystems. Diese Frage lässt sich im zweidimensionalen Koordinatensystem recht gut beantworten, wenn man Verschiebung und Drehung getrennt durchführt:

Verschiebung um a in x-Richung: x wird durch x+a ersetzt.

Verschiebung um b in y-Richung: y wird durch y+b ersetzt.

Drehung um den Koordinatenursprung: die →Drehmatrix (Suchbegriff) wird mit (x|y) multipliziert.

Im Dreidimensionalen ist die Verschiebung analog auf eine dritte Achse zu erweitern. Für die Drehung gibt es möglicherweise wieder eine Drehmatrix.

von 56 k

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