Quadrat in gleichschenkligem Dreieck: Wie kommt man auf die Seitenlänge?

Question

Ich soll zeigen, dass für die Seitenlänge $s=\frac{c\cdot h}{c+h}$ gilt.

Mithilfe des Strahlensatzes, habe ich folgende Gleichung erhalten:$$\frac{s}{c}=\frac{\sqrt{(h-s)^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2}}{\sqrt{h^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2}}$$ Wenn ich das nach $s$ auflöse, erhält man die gewünschte Formel: Das ist aber sehr aufwendig; bedarf langen Rechnungen. Wie kann man es kompakt erklären?

Ich dachte daran, dass man ein Quadrat in ein Dreieck einschreibt und den maximalen Flächeninhalt berechnet.

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Quelle: Musterklausur MW-E Mathematikwettbewerb der Einführungsphase 2019; Aufgabe 4a)

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Wichtig: Das ist eine Probleklausur - die richtige ist morgen!

Answer 1

Hallo Anton,

Teile das Dreieck in der Mitte und betrachte eine Hälfte:

Dann ist nach Strahlensatz: $$\frac{h-s}{s/2} = \frac{h}{c/2}$$und das ist dann einfach umzuwandeln:$$\begin{aligned} ch-cs &= hs \\ ch &= s \left( h + c\right) \\ s &= \frac{ch}{h+c} \end{aligned}$$die gestrichelte Gerade durch $M_c$ hat übrigens immer die Steigung $2$ - so lässt sich das Quadrat leicht zeichnerisch konstruieren. Das ist keine Extremwert-Aufgabe. Es gibt nur genau das eine Quadrat auf der Grundseite, was die Schenkel berührt.

Oder Du machst es Dir noch einfacher; füge einfach ein Quadrat mit der Seitenlänge $c$ unterhalb des Dreiecks hinzu:

Die Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C$ inklusive der eingeschlossenen Quadrate sind ähnlich. Folglich ist$$\frac{s}{h} = \frac{c}{h+c}$$Gruß Werner

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Leider bin ich sehr stark eingerostet in der Elementargeometrie.

Mich interessiert vor allem die zweite Methode. Kannst du die Gleichung noch einmal mit den Strecken in folgender Darstellung notieren: $\overline{AB}$.

Wenn ich mir die beiden Strahlensätze angucke, kann ich nicht nachvollziehen, wieso du $h$ in der Formel stehen hast und welceh Strecke $c$ ist...!

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Ich hab dazu selber eine Frage: Wenn ABC und A'B'C ähnliche Dreiecke sind, kann man dann davon ausgehen, dass AB und A'B' parallel sind, oder muss man das zeigen, wenn ja wie?

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Hallo Anton,

Wenn ich mir die beiden Strahlensätze angucke, ...

Die Frage amüsiert mich! Kein Strahlensatz - sondern Ähnlichkeit. In zwei ähnlichen geometrischen Gebilden bleiben alle Verhältnisse von Strecken untereinander erhalten. In diesem Konkretem Fall ist es das Verhältnis der Quadratseite zur Höhe:

Ich habe Dir oben zwei ähnliche geometrische Figuren (Dreieck mit Quadrat) gezeichnet. Die Winkel bei $C$ und $C'$ sind gleich. Das Quadrat kann jeweils nur genau so groß sein, wie es gezeichnet ist. Du kannst beide Figuren durch eine zentrische Streckung (Zentrum $O$) ineinander überführen.

Also sind auch alle Verhältnisse von Strecken gleich; so auch das Verhältnis der schwarzen Strecke $s$ zur roten $h$.

Gruß Werner

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ich hab dazu selber eine Frage: Wenn ABC und A'B'C ähnliche Dreiecke sind, kann man dann davon ausgehen, dass AB und A'B' parallel sind?

Ja - kann man. Wenn die Dreiecke ähnlich sind, müssen auch alle Winkel und damit auch die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich sein. Wenn man sie als Stufenwinkel bei Parallelen sieht, so folgt daraus $AB \parallel A'B'$.

(siehe Skizze in meiner Antwort oben; im allgemeinen Fall kann man nicht davon ausgehen, siehe Bemerkung von abakus unten)

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Aha! Jetzt verstehe ich es. Ich habe mich mittlerweile auch wieder etwas in Ähnlichkeit und zentrische Streckungen eingelesen. Das ist ein Bereich, der mir nie als Notwendigkeit erschien: Doch ist er sehr nützlich!

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" Wenn ABC und A'B'C ähnliche Dreiecke sind, kann man dann davon ausgehen, dass AB und A'B' parallel sind?"

Wenn du es nicht auf eine spezielle vorgegebene Lage beziehst: Im Allgemeinen NEIN.

Nimm dir ein beliebiges Dreieck ABC, drehe es um eine  spitzen Drehwinkel, und du bekommst ein ähnliches (in diesem Fall sogar kongruentes) Dreieck  A'B'C'.

Wegen des Drehwinkels sind AB und A'B'  NICHT parallel.

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@ Werner-Salomon

Du solltest fairerweise ergänzen, dass deine Verhältnisgleichung eine Eigenkreation ist, die nicht mit den Bezeichnungen der Originalskizze übereinstimmt. Dort ist h die Gesamthöhe, während du "h" für die Höhe des kleineren Dreiecks verwendest.

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Hallo abakus,

... kann man dann davon ausgehen, dass AB und A'B' parallel sind?

Wenn du es nicht auf eine spezielle vorgegebene Lage beziehst: Im Allgemeinen NEIN.

natürlich, da man zwei Figuren drehen kann, wie man will. Meine Aussage bezog sich auf die Skizze in meiner Antwort und damit auf die Frage von abc18 zu meiner Antwort.

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Du solltest fairerweise ergänzen, dass deine Verhältnisgleichung eine Eigenkreation ist, die nicht mit den Bezeichnungen der Originalskizze übereinstimmt. Dort ist h die Gesamthöhe, während du "h" für die Höhe des kleineren Dreiecks verwendest.

Das 'kleinere Dreieck' $\triangle ABC$ soll das in der Frage gezeichnete Dreieck sein. Und $h$ ist seine Höhe, sowohl in der Frage, als auch in meiner Antwort.

Das Trapez $A'B'BA$ ist darunter gesetzt; wie auch in der Antwort erwähnt.

Gruß Werner

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Ich habe mir das gerade noch einmal angeschaut. Ist der Abstand A'B'=h+c? Wenn ja, warum?

s/h=c/(....)   (....) verstehe ich nicht ganz, welche Länge beschreibt das.

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Ist der Abstand A'B'=h+c?

Nein - im allgemeinen Fall nicht.

s/h=c/(....)  (....) verstehe ich nicht ganz, welche Länge beschreibt das.

$$\frac sh = \frac c{h+c}$$ wie schon in Deiner Frage ist $s$ ist die Seitenlänge des ursprünglichen  Quadrats im Dreieck $\triangle ABC$ und $h$ ist die Höhe des Dreiecks $\triangle ABC$. $c$ ist die Basisseite $c=|AB|$. Und $h+c$ ist die Höhe des großen Dreiecks $\triangle A'B'C$ in meiner Antwort bzw. die Höhe des Dreiecks $\triangle A'B'C'$ im Bild im Kommentar oben; bzw. $h+c=|M_c'C|$ im Bild unten.

In dem Bild in meinem Kommentar (oben) ist $h$ die rote Strecke des kleineren Dreiecks und $s$ ist die im gleichen Dreieck schwarz markierte Strecke - also die Seite des eingeschriebenen Quadrats. Das Verhältnis ist in diesem Bild immer 'schwarze Strecke' zu 'rote Strecke'.

Nochmal zur Klarstellung:

In das Dreieck $\triangle ABC$ (dicke blaue Linie) ist das Quadrat $PQRS$ (grün) eingesetzt - so wie in Deiner Frage.

Unter das Dreieck $\triangle ABC$ zeichne ich ein Quadrat $P'Q'R'S'$ (braun) derart, dass die Punkte $A=S'$ und $B=R'$ zusammen fallen. Ich verlängere die Schenkel des Dreiecks $\triangle ABC$ nach unten, die die Verlängerung der Seite $P'Q'$ in den Punkten $A'$ und $B'$ schneiden. Somit liegen zwei ähnliche Figuren bestehend aus einem Dreieck und einem Quadrat vor. Als einmal $\triangle ABC + PQRS$ und zum anderen $\triangle A'B'C + (P'Q'R'S' = P'Q'BA)$

In beiden Figuren betrachte ich nun das Verhältnis der Seitenlänge des Quadrats $s$ bzw. $s'$ zu der Höhe $h$ bzw. $h'$  des jeweiligen Dreiecks. Da die Figuren ähnlich sind, muss dieses Verhältnis gleich sein:$$\frac {s=|PQ|}{h=|M_cC|} = \frac {s'=|P'Q'|}{h'=|M_c'C|}$$Und da ich das zweite Quadrat so gewählt habe, dass $s'= |S'R'|=|AB|=c$ ist, setzt sich die Höhe $h'$ des zweiten Dreiecks $\triangle A'B'C$ aus der Höhe $h=|M_cC|$ des ersten Dreiecks und der Seite $|P'A| = s'=|M_c' M_c|=|AB|$ zusammen. Folglich ist$$s' = |AB| = c\\ h' = |M_cC| + |M_c'M_c| = h +|AB|= h + c\\ \frac sh = \frac{s'}{h'} = \frac{c}{h+c}$$

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Gut, das war mir vorher nicht klar. Das Verhältnis von Grundseite (des Quadrats) durch die Höhe der beiden Dreiecke ist gleich. Ich wäre nur nicht darauf gekommen, dass die Höhe des größeren Dreicks h+c ist.

Answer 2

Zeichne die Höhe des großen Dreiecks ein und verwende Strahelsatz:

(s/2) / (c(2) = (h-s) / h

nach s aufgelöst gibt es das Ergebnis.