Kleine Frage zu konvex,konkav und der Zusammenhang mit Definitheit

Question

Nehmen wir an eine quadratische Matrix liegt vor. 

Sie ist positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer Null sind. Negativ definit ist sie, wenn alle Eigenwerte kleiner Null sind. Kommen bei den Eigenwerten positive als auch negative vor, dann ist sie indefinit.  Positiv semidefinit ist eine Matrix, wenn die Eigenwerte größer gleich 0 sind. Und zu letzt negativ semidefinit ist sie, falls die Eigenwerte kleiner gleich Null sind.

Die erste Frage muss eine Matrix quadratisch sein damit man die Eigenwerte errechnen kann?

Zweite Frage ist eine Matrix nur konvex,konkav wenn semidefinitheit vorliegt? Oder auch schon, wenn eine Matrix positiv oder negativ definit ist. Weder konvex noch konkav ist ein Matrix, wenn sie indefinit ist, dass weiß ich, aber kann mir trotzdem die Frage nicht beantworten.

Vielen Dank

Answer 1

muss eine Matrix quadratisch sein damit man die Eigenwerte errechnen kann?

Ja. Ein Wert λ heißt Eigenwert einer Matrix M, wenn es einen Vektor v ≠ 0 gibt, so dass

        M·v = λ·v

ist.

v und λ·v sind aus dem gleichen Vektorraum.

Ist M nicht quadratisch, dann sind v und M·v aus unterschiedlichen Vektorräumen. Dann kann M·v = λ·v nicht sein.

Comments

Danke. Stimmt diese Aussage dann?

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Die zweite Frage hat sich geklärt. Eine Funktion ist konvex, wenn sie positiv semidefinit ist und konkav falls sie negativ semidefinit ist. Und gar nichts also weder konvex noch konkav falls die Matrix indefinit ist.