Vollständige Induktion: Ungleichung 2^n > n+1 zeigen

Question

Aufgabe:

Habe die folgende Aufgabe vorliegen, die ich mit vollständiger Induktion beweisen soll: 2ⁿ > n+1 (für alle n ≥ 2)

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang: 

2² > 2+1

⇔ 4 > 3

Induktionsschluss:

2ⁿ⁺¹ > n+2

⇔ 2 • 2ⁿ > n+2

Nach diesem Schritt komme ich aber nicht mehr weiter.

Ich habe zwar eine Musterlösung vorliegen, die verstehe ich allerdings nicht.

Anstatt meinem grün markierten Schritt wird in der Musterlösung folgendes gemacht:

2 • 2n > 2•(n+1)

Ich verstehe allerdings nicht, wie man auf das rot markierte kommt...

Answer 1

⇔ 2 • 2^n > n+2

Die Ind. annahme sagt ja  2^n > n+1

also kannst du sagen :
2^(n+1) = 2 • 2^n > 2*(n+1) = 2n+2 = n+n+2 > n+2 .   

Comments

Danke, ich habe noch eine weitere Frage:

Aufgabe: 2ⁿ ≤ (n+1)!

IA: 2⁰ ≤ (0+1)! ⇔ 1 ≤ 1

IS: 2ⁿ⁺¹ ≤ (n+2)!

⇔ 2 * 2ⁿ ≤ (n+2)!

⇔ 2 * (n+1)! ≤ (n+2)!

Wie geht es nun weiter?

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Jetzt kannst du argumentieren:

Für n ≥0 gilt   2 ≤ n+2 ,

also gilt auch 2*(n+1)! ≤ (n+2)*(n+1)! = (n+2)!