zeigen, dass die Eigenvektoren v1 und v2 orthogonal zueinander sind

Question

Sei f ein unitärer Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraumes V. Seien λ₁,λ₂ ∈ℂ zwei verschiedene Eigenwerte von f. Sei v₁ ein Eigenvektor zu λ₁ und v₂ ein Eigenvektor zu λ₂. Zeigen Sie, dass v₁ zu v₂ orthogonal ist.

Da v₁ ein Eigenvektor zu λ₁ und v₂ ein Eigenvektor zu λ₂ ist gilt:

f(v₁)=λ₁v₁

f(v₂)=λ₂v₂

Wie kann ich jetzt damit zeigen dass die beiden Eigenvektoren orthogonal sind, also <v1,v2>=0 gilt?

Answer 1

unitärer Endomorphismus  heißt doch  <f(v1),f(v2)> = <v1,v2>

 und mit

f(v1)=λ1v1   und  f(v2)=λ2v2    gibt das

<v1,v2> = <λ1v1,λ2v2  > = <λ1*λ2* <v1,v2  >

==> ( 1 - λ1*λ2)  * <v1,v2  >   = 0

bräuchte man nur noch ein

Argument warum nicht 1 = λ1*λ2 sein kann ???

Comments

Danke, das habe ich verstanden.

und es muss gelten 1 ≠λ1*λ2 da sonst die Eigenvektoren linear abhängig wären voneinander und man dann nur einen Eigenvektor bekommen würde? Oder warum sonst?

Und λ1 ≠λ2  gelten muss.

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Genau vor dem gleichen Problem stehe ich auch gerade. Warum muss 1 ≠λ1*λ2?

Ich glaube deine Begründung stimmt nicht Heidiiii aber vielleicht kann uns mathef nochmal weiterhelfen?

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Beim unitären Skalarprodukt gilt

<λ1v1,λ2v2  >

=λ1^{*}λ2 <v_1,v_2>

Da die Eigenwerte nicht gleich sind, gilt λ1^{*}λ2≠1

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 Das ist ein Toppargument !