Beweis zu: Sei n in N ungerade, dann ist n^2 mod 8 = 1

Question

ich möchte beweisen:

$$Sei~n~\in~\mathbb{N},~n~ungerade.~Dann~ist~n^2~mod~8~=~1$$

Ich habe das jetzt so gemacht:

$$n^2 mod 8 \Leftrightarrow n^2 = k \cdot 8 + 1$$

$$(2m + 1)^2 = k \cdot 8 + 1$$

$$4(m^2 + m) + 1 = k \cdot 8 + 1$$

Jetzt könnte man den Rest 1 durch Subtraktion von 1 "verschwinden" lassen, dann wäre n^2 durch 8 teilbar. Also ergibt n^2 bei der Division mit Rest durch 8 den Rest 1.

Ist das okay? Ich finde es jetzt selber nicht sooo einleuchtend ^^ Kenne mich aber mit dem Modulo auch nicht allzu gut aus. Könnte mir jemand vielleicht noch eine andere Begründung nennen oder es anders formulieren?

Danke,

Thilo

Comments

4m(m+1) = 8k     stimmt auf jeden Fall, da jede 2. natürliche Zahl gerade.

Dann einfach von unten im Beweis beginnen, würde mir einigermassen einleuchten.

Answer 1

n² = (2a+1)²= 4a²+4a+1 = 4(a²+a)+1 = 4(2c)+1= 8c+1 = 1 mod 8 , a,c aus n

Answer 2

4·(m^2 + m) + 1 = k·8 + 1

4·(m^2 + m) = k·8

m^2 + m = k·2

m·(m + 1) = k·2

m·(m + 1) ist auf jeden Fall eine durch 2 Teilbare Zahl und damit ist k eine Natürliche Zahl.