Antwort mit KI erzeugt
Erwartungswert und Varianz von \(S_6\)
Um den Erwartungswert und die Varianz von \(S_6\), der Summe von 6 unabhängigen Zufallsvariablen, die jeweils gleichverteilt auf dem Intervall [0, 2] sind, zu berechnen, betrachten wir zunächst eine einzelne Zufallsvariable \(X_i\).
Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariable \(X_i\)
Der Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariable auf dem Intervall [a, b] ist \(\mu = \frac{a + b}{2}\). In unserem Fall ist \(a=0\) und \(b=2\), daher ist der Erwartungswert von \(X_i\):
\(
\mu = \frac{0 + 2}{2} = 1
\)
Da alle \(X_i\) identisch verteilt sind und ihre Erwartungswerte sich addieren, ist der Erwartungswert von \(S_6\), \(E[S_6]\), gleich:
\(
E[S_6] = 6 \times \mu = 6 \times 1 = 6
\)
Varianz einer gleichverteilten Zufallsvariable \(X_i\)
Die Varianz einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] ist \(\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}\). Hier ist:
\(
\sigma^2 = \frac{(2 - 0)^2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
\)
Da die Varianzen unabhängiger Zufallsvariablen sich addieren, ist die Varianz von \(S_6\), \(Var(S_6)\), gleich:
\(
Var(S_6) = 6 \times \frac{1}{3} = 2
\)
Obere Schranken für die Wahrscheinlichkeit Pr(\(S_6 ≥ 10\))
a) Nutzung der Markow-Ungleichung
Die Markow-Ungleichung besagt, für eine nichtnegative Zufallsvariable \(X\) und ein \(a > 0\):
\(
Pr(X \geq a) \leq \frac{E[X]}{a}
\)
In unserem Fall ist \(X = S_6\) und \(a = 10\). Somit erhalten wir:
\(
Pr(S_6 \geq 10) \leq \frac{E[S_6]}{10} = \frac{6}{10} = 0,6
\)
b) Nutzung der Tschebyscheff-Ungleichung
Die Tschebyscheff-Ungleichung gibt eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsvariable einen bestimmten Abstand vom Erwartungswert überschreitet. Formell ausgedrückt, für eine beliebige Zufallsvariable \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\), gilt:
\(
Pr(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
\)
Um dies auf \(S_6\) anzuwenden, suchen wir \(k\), sodass \(10 = 6 + k\sqrt{2}\), weil \(6\) der Erwartungswert von \(S_6\) ist und \(\sqrt{2}\) die Standardabweichung (da \(\sigma^2 = 2\)). Daraus folgt:
\(
k = \frac{10 - 6}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}
\)
Eingesetzt in die Tschebyscheff-Ungleichung erhalten wir:
\(
Pr(|S_6 - 6| \geq 2\sqrt{2}\sqrt{2}) = Pr(|S_6 - 6| \geq 4) = Pr(S_6 \geq 10) \leq \frac{1}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{8}
\)
Zusammenfassend haben wir den Erwartungswert von \(S_6\) als 6 und die Varianz als 2 berechnet. Bei der Anwendung der Markow-Ungleichung erhalten wir eine obere Schranke von 0,6 für \(Pr(S_6 \geq 10)\), während die Tschebyscheff-Ungleichung eine strengere obere Schranke von \(\frac{1}{8}\) liefert.
