Question

Induktionsanfang für \(\sum_{j=1}^{n-1}{j^k}<\frac{n^{k+1}}{k+1}\), wobei \(k,n\in \mathbb{N}\) und \(n\geq 2\).

Muss ich für den Induktionsanfang jetzt \(k_0=1\) und \(n_0=2\) nehmen oder doch nur eine der Variablen?

Comments

Sollst du den Beweis wirklich mit vollständiger Induktion führen?

Falls nicht, könntest du auch einen Ansatz über die Integralrechnung im Betracht ziehen:

$$ \sum_{j=0}^{n-1} j^k < \int_0^n x^k ~dx = \frac{n^{k+1}}{k+1}$$

Du kannst dir die Summe als Untersumme der Funktion \( x \mapsto x^k\) vorstellen, wobei du das Intervall [0,n] eben in die Intervalle [0,1], ... [n-1,n] zerlegst. Zeichne dir den Sachverhalt am besten einfach mal für kleine n und k auf.

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Also es steht nicht explizit da, dass man es mit vollständiger Induktion beweisen soll, aber den Ansatz, den du vorschlägst, kann ich noch nicht wählen.

Answer 1

Halte dein k fest und führe über n die  Induktiond durch. Dann ist der Induktionsanfang für n=2 offensichtlich erfüllt (kannst du einfach nachrechnen).

Für den Induktionsschritt hälst du wieder dein k fest und setzt ein beliebiges aber festes n voraus, sodass diese Abschätzung gelte.

Und dann fängst du an, von unten nach oben abzuschätzen, d.h so fängst du an:

$$ \sum_{j=1}^n j^k =\Bigg(\sum_{j=1}^{n-1} j^k \Bigg)+n^k \stackrel{(IV)}{<} \underline{\frac{n^{k+1}}{k+1}+n^k }= ... < \frac{(n+1)^{k+1}}{k+1} $$

Forme den unterstrichenen Ausdruck mal etwas um und versuch dann mit dem Binomischen Lehrsatz die Abschätzung $$ (n+1)^{k+1}> n^{k+1}+(k+1)n^k$$ hinzubekommen.

Comments

Hi,

danke für die Antwort. Mein Inudktionsanfang sieht so aus für \(n_0=2\):$$\sum_{j=1}^{1}{j^k}<\frac{(2+1)^{k+1}}{k+1}$$$$\Leftrightarrow 1<\frac{3^{k+1}}{k+1} \quad  \checkmark$$ Das reicht schon?

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Du hast es nicht richtig gemacht. Es muss so lauten:

$$ \sum_{j=1}^1 j^k=1^k=1<\frac{2^{k+1}}{k+1} $$

was offensichtlich für alle k∈ℕ gilt.

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Ja, ich habe es für den Induktionsanfang ausversehen die Induktionsbehauptung genommen! :-)