Homogene Dgl. zweiter Ordnung

Question

Aufgabe:

Seien A,δ,ω ∈ ℝ. Man prüfe, ob die Funktion

$$u(t)=A \cdot e^{-\delta t} \cdot \sin (\omega t)$$

die Bedingungen

$$u^{\prime \prime}+2 \delta u^{\prime}+\left(\delta^{2}+\omega^{2}\right) u=0$$ und $$u(0)=0 \text { und } u^{\prime}(0)=A \cdot \omega$$

erfüllt.

Problem/Ansatz: Es gilt dann ja $$\lambda_{1,2}=-\frac{2 \delta}{2} \pm \sqrt{\frac{4 \delta^{2}-4\left(\delta^{2}+\omega^{2}\right)}{2}}=-\delta \pm \sqrt{-2 \omega^{2}}=-\delta \pm j \cdot \sqrt{2} \cdot \omega$$ An dieser Stelle muss sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen haben oder mir ist noch nicht klar, wie man die $\sqrt{2}$ auflöst. Danke schon einmal für die Hilfe!

Answer 1

Du musst einfach nur prüfen, ob beim Einsetzen alles stimmt.

Dazu bilde

u ' (t)  = A*(  ω*cos(ωt) - δ*sin(ωt)   ) *e^(-δt)

und

u ' ' (t) = A *( -2*δ*ω*cos(ωt) + (δ² - ω² ) * sin(ωt) )  *e^(-δt)

Einsetzen in

u ' '  + 2* δ*u ' +  (δ² + ω² )* u

gibt tatsächlich 0.

Und dann noch Anfangs- und Endwert prüfen.

Answer 2

lambda brauchst du hier gar nicht, du sollst die DGL ja nicht selbst lösen, sondern nur die gegebene Funktion einsetzen und prüfen ob sie die DGL erfüllt, also eine Lösung der DGL ist. Das tut sie.

Zu deinem Ansatz:

Dein Fehler liegt vermutlich im Anwenden der pq-Formel, die wird hier aber gar nicht benötigt, denn die Gleichung ist bereits so geschrieben, dass man eine bin. Formel hat.

Setze u=e^(λt)

Dann ergibt sich

λ² +2δλ+δ²=-ω²

(λ+δ)²=-ω²

λ+δ=±i*w

λ=-δ±i*w

und damit auf die gegebene Funktion.