Wie kann ich das zeigen, dass die Menge {x, y} den Vektorraum R^{2} erzeugt?

Question

Es seien x, y ∈ R^2 Punkte, welche nicht gemeinsam auf einer Geraden durch den Nullpunkt (0, 0) ∈ R^2
liegen.

Zeigen Sie, dass die Menge {x, y} den Vektorraum R^2 erzeugt.

Comments

Dein Text ist ein wenig verunglückt. Soll ich versuchen, ihn zu reparieren?

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Ja versuch mal

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Ok, habe ich gemacht. Schau mal, was noch fehlt, ich reiche es noch nach.

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Super gemacht danke

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Ich bin gerade bei derselben Frage und bin mir nicht sicher, ob mein Ansatz richtig ist oder nicht:

x und y sind punkte auf zwei verschiedene geraden, die durch den Nullpunkt (0,0) gehen. Für mich ist es nur intuitiv klar, dass eine Linearkombination aus dieser zwei Geraden ℝ² erzeugt.

Ich muss nun zeigen, dass diese zwei Geraden linear unabhängig sind. Aber wie wähle ich die geraden? Kann ich einfach sagen, dass die Gerade (1) λ₁ • (x,0) ist und Gerade (2) λ₂ • (0,y) ist und dann zeigen, dass sie linear unabhängig sind?

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Hallo

 nein , du solltest schon nicht 2 so spezielle Geraden wählen, sondern  etwa (a,b) (c,d) mit a/b≠(c/d) oder   (a,b) (a,b+c) mit c≠0

Gruß lul

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Das ergibt sin, vielen dank! :)

Answer 1

Du musst doch nur zeigen, dass x=(x1,x2) und y=(y1,y2)  lin. unabhängig sind.

Wären sie lin. abhängig, dann gäbe es ein k mit

y = k*x also  y1=k*x1 und y2=k*x2  und damit lägen x und y auf einer

Geraden, die durch den Ursprung geht, nämlich die mit der Gleichung

 z =   ( 0,0) + k*(x1,x2) .