Beweis zu Eigenwerten einer Matrix

Question

Aufgabe:

Beweis der Behauptung E8).

E6) Ist λ ein Eigenwert der regulären Matrix A, so ist der Kehrwert 1/λ ein Eigenwert der
inversen Matrix A^-1.

E7) Die Transponierte Matrix A^T von A hat das gleiche charakteristische Polynom wie A.

E8) Hat die Matrix A die Eigenwerte λi, i = 1,2,...,r, so sind λi^m , m ∈ N, Eigenwerte von A^m.

Problem/Ansatz:

Die Behauptungen E6 und E7 habe ich schon bewiesen, aber bei E8 komme ich irgendwie nicht weiter.

Vielen Dank für jegliche Hilfe:)

Answer 1

Sei \(\lambda\) ein EW von  A und \(v\neq 0\) ein dazugehöriger EV.

Beh. \( \lambda^m \) EV von \( A^m\)

Beweis per Induktion:

IA: n=1 klar

IV: für ein \(n\) gelte \( \lambda^n\) EV von \( A^n\)

IS:

$$ A^{n+1}v = AA^nv\stackrel{IV}{=} A\lambda^nv=\lambda^nAv=\lambda^{n+1}v$$

Somit ist \( \lambda^{n+1} \) EW von \(A^{n+1}\) mit EV v.

Comments

Dankeschön:)

Answer 2

das kannst du z.B per Induktion zeigen:

Induktionsanfang: A v_{i} =λ_{i} v_{i} ist erfüllt

Induktionsvoraussetzung:

A^m v_{i} =λ_{i}^m v_{i}

Induktionsschritt:

A^{m+1} v_{i} =A^{m} *A v_{i}=λ_{i} *A^{m} v_{i}=λ_{i} *λ_{i}^m v_{i}=λ_{i}^{m+1} v_{i}