Question

Zeigen Sie, dass die Menge SL(n, Z) = {A ∈ Z
n×n : det(A) = 1} eine Gruppe bezuglich ¨
Matrixmultiplikation ist. Geben Sie ein Beispiel eines Elements von SL(3, Z), das verschieden
von der Einheitsmatrix ist.

Das Beispiel habe ich gefunden. Nur tuhe ich mir leider schwer, den ersten Teil der Aufgabe zu lösen. Vielleicht kann mir ja von euch jemand helfen.

Comments

@Gustav1998: Kannst du mal deine eigenen Fragen durchgehen und die Antworten kommentieren, respektive mit Sternen verschehen, falls sie für dich erledigt sind?
https://www.mathelounge.de/user/Gustav1998/questions Bisher ist wohl erst eine von deinen 55 Fragen erledigt (?) .

Viele sind vermutlich Informatikfragen, mit denen hier niemand viel anfangen kann (?)

Answer 1

Für Gruppe musst du zeigen:

Abgeschlossenheit

Assoziativität

Existenz eines neutrales El.

und zu jedem El ein inverses.

zu1) seine A,B aus SL(n, Z)

dann auch A*B; denn erstens werden bei der Berechnung von

A*B die El. von A und B nur addiert und multipliziert ,

die Ergebnisse bleiben also in Z.

Zweitens bleibt det=1 denn

det(A*B) = det(A)*det(B) = 1*1 = 1.

Assoziativität gilt bei Matrixmultiplikation immer.

neutral ist die Einheitsmatrix.

Und die inverse einer Matrix mit det=1 hat auch det=1

und wenn du etwa die Formel A^(-1) = 1/det(A) * adj(A) benutzt,

ist auch klar, dass in der inversen Matrix nur ganze Zahlen

auftauchen.

Comments

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Das war mein Beispiel zu der Aufgabe. Ist das korrekt? Bin mir nach dem von dir aufgeführten ersten Teil nicht mehr sicher

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Ist doch top:

Es ist det = 1 und es kommen nur ganze Zahlen vor.