Umkehrfunktion und Steigung an einer Stelle

Question

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion u(y(x)) von

y(x)=sin($\sqrt{tan(x^3-ln(x))}$)

und bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks d u(y(x)) / dx  an der Stelle x0=1,14 , also die Ableitung nach dx.

Leider weiß ich nicht, wie ich umformen muss, um die Umkehrfunktion zu erhalten.

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sorry war falsch.

Answer 1

Hallo
steht da wirklich du sollst die Umkehrfunktion bestimmen? oder doch nur mit dem Satz über implizite Funktionen zeigen, dass sie existiert?
wenn du die Ableitung der Umkehrfkt u bilden sollst dann mit dem Wissen
f(u(x))=x , Kettenregel : df/du*du/dx=1 daraus du/dx ohne u zu kennen.
Gruß lul

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Die Aufgabe ist:

Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks

d u(y(x)) / dx  an der Stelle x0=1,14

Dafür muss ich die Umkehrfunktion doch bestimmen, oder?

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Hallo

 ich schrieb oben "df/du*du/dx=1 daraus du/dx ohne u zu kennen." liest du eigentlich posts, und denkst mindestens 5 Minuten darüber nach?

Gruß lul

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ich habe leider nicht genau verstanden, was du damit meinst, dass  "df/du*du/dx=1 ist und daraus du/dx berechnet werden kann, ohne u zu kennen".

Muss ich also 1/ y'(x) rechnen. Also die Ableitung der gegebenen Funktion bilden?

Wie bilde ich dann aber die Ableitung von y(x) ?

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Hallo

y'(x) Kettenregel anwenden, das musst du schon selbst du kannst sin ableiten, cdukannst Wurzel ableiten du kannst x³ ableiten du kannst tan ableiten und ln auch, also wend nur immer wieder die Kettenregel an.

Gruß lul

Answer 2

Mein Vorschlag,

die Steigung der Umkehrfunktion an einer
Stelle ist der Kehrwert der Steigung der Funktion
an der Stelle

f ^(-1) ´ ( x ) = 1 / f ( x )

Siehe
https://de.serlo.org/mathe/funktionen/ableitung-funktionen/ableitung…

unter Erklärungen

Georg

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die Steigung der Umkehrfunktion an einer Stelle ist der Kehrwert der Steigung der Funktion an der Stelle
f ^(-1) ´ ( x ) = 1 / f ( x )

Dann meinst du wohl  f ^-1 ' ( x ) = 1 / f '( x ) ?

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f(x) = √x    ,   f '(x) = 1/(2√x)

f^-1(x) = x²  ,   f^-1 ' (x) = 2x

f^-1 '(3) = 2·3 = 6   ≠ 1 / f '(3) = 2·√3

Richtig ist:   $$f^{-1}´ (x) = \frac{1}{f´ (f^{-1}(x))}$$

f ^-1 '(3) = 1 / [1/(2·√(3²) ]  = 6