Für welche t ist die lineare Abbildung, die durch eine Matrix definiert wird, ein Isomorphismus?

Question

Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Für welche } t \in \mathbb{R} \text { ist die lineare Abbildung, die durch die Matrix } A \in \mathbb{R}^{6 \times 6} \text { definiert }} \\ {\text { wird, ein Isomorphismus? }}\end{array} $$

$$ A=\left(\begin{array}{cccccc}{t} & {1} & {\frac{2}{3}} & {\frac{3}{7} t} & {\frac{5}{2} t} & {-3} \\ {1} & {2} & {-3} & {-7 t} & {8} & {-2 t} \\ {0} & {0} & {\frac{3}{7}} & {2} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {7} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {3 t} & {2} & {\frac{1}{3}} & {t} \\ {0} & {0} & {3} & {2 t} & {-2} & {-3}\end{array}\right) $$


Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich t?
Ich habe ein wenig gegooglet und weiß nicht ob ich hie auf dem richtigen weg gewesen bin:
Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung V → W, die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume V und W bezeichnet man dann als isomorph. (Wikipedia)



LG

Answer 1

Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist.

Richtig. Und Matrizen sind genau dann regulär, wenn ihre Determinante \( \neq 0 \) ist. Also reicht es hier die Determinante der Matrix auszurechnen, dann erhältst du ein Polynom in der Variablen t und davon musst du die Nullstellen ausrechnen.

Tipp: Sieh dir an, wie man die Determinante für Blockmatrizen sinnvoll ausrechnet.

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$$\det A = (2t-1)^2$$Die Matrix induziert also für alle \( t \neq \frac{1}{2} \) einen Isomorphismus.

[/spoiler]

Comments

schon mal danke für die Antwort, war ja nicht ganz auf dem Holzpfad! :D

Um auf die Determinante zu kommen, würde mir aber nur der Laplacesche Entwicklungssatz einfallen.

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Also von Laplace würde ich abraten. Dann eher noch Gaußsches Eliminationsverfahren (auf Dreiecksgestalt bringen und dann die Regel für Dreiecksmatrizen verwenden)

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Ah cool danke, bin so auch direkt auf die \( \frac{1}{2} \) gekommen.

LG und noch eine schöne Woche!