Polynomfunktion 5. Grades bestimmen

Question

Kann mir jemand erklären, wie ich eine Polynomfunktion anhand der 0 Stellen bestimmen kann?

Danke und LG!

Answer 1

die Funktion hat einfache Nullstellen bei x=1 und x=5 und eine dreifache Nullstelle bei x=3 (Sattelpunkt)

f(x) = a · (x-1) · (x-3)³ · (x-5)

f(4) = 3/2  →  a = -1/2    →  f(x) = -1/2 · (x-1) · (x-3)³ · (x-5)

Nachtrag:

Ausmultipliziert ergibt das   f(x) = - 1/2·x^5 + 15/2·x^4 - 43·x^3 + 117·x^2 - 297/2·x + 135/2

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, danke für deine Antwort.

Warum eine dreifache Nullstelle? Was bedeutet das? :-)

LG

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Jede Nullstelle x_o  bedeutet einen Linearfaktor  x-x_o  in der Fakrtorzerlegung eines Polynoms. Jedes Polynom 5. Grades besitzt höchstens 5 Nullstellen und damit höchstens 5 solche Linearfaktoren.

Extremstellen sind dabei (mindestens) doppelte, Sattelstellen (mindestens) dreifache Nullstellen. 

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, hier S(3|0)

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Etwas besser ist es vielleicht a mit dem Funktionswert an der Stelle x = 4.5 abzuschätzen. Bei a = -0.5 sieht man, dass dieser Punkt schlecht modelliert wird.

Ich empfehle zur Abschätzung immer möglichst große Funktionswerte zu nehmen.

Answer 2

Verschiebe die y-Achse um 3 nach rechts:

Dann entsteht der Ansatz f(x)=ax⁵+bx³+cx

mit den Nebenbedingungen f(2)=0; f(-2)=0 und f '(0)=0.

Bestimme dann a, b und c.

Schiebe wieder zurück.

Comments

Die Bedingungen f(2)=0 und f(-2)=0 sind äquivalent.

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Ja, das stimmt. Dann vielleicht durch die Bedingung f ''(0)=0 ergänzen?

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f''(0)=0 folgt bereits aus deinem Ansatz für f.

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Aus f'(0) folgt c=0.

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Sicher. Aber f''(0)=0 ist keine zusätzliche Bedingung, sondern folgt bereits aus dem Ansatz für f.

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Dann muss man wohl ein Nullstelle hinzuhehmen. Die kann man aber nur ablesen (mit Unsicherheiten).