Wie müssen Basisbreite a, Höhe h, Böschungswinkel α gewählt werden, damit der benetzte Umfang minimal wird?

Question

Aufgabe:

Die Aufgabenstellung steht im Titel, es steht noch da, dass die Fläche A gegeben ist. Es handelt sich um einen trapezförmigen Querschnitt.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre der, dass ich eine Funktion f finde, die a, h und α als Parameter besitzt, also f(a,h,α): ℝ³→ℝ.

f soll auf den benetzten Umfang abbilden, also f(a,h,α) = 2b + a:

Jetzt würde ich die Form für b aufstellen:

sinα = $\frac{h}{b}$, b = $\frac{h}{sinα}$.

Daraus würde dann folgen f(a,h,α) = a + $\frac{2h}{sinα}$.

Da fehlt mir aber irgendwie noch das gegebene A bzw. der Bezug zum Flächeninhalt im Allgemeinen und wenn ich die partiellen Ableitungen von f bilde und da nach Extremstellen gucke, sieht's auch eher mau aus..

Mein Ansatz war dann, mit den gegebenen Variablen a,h,α die Formel für den Flächinhalt zu bilden:

A = $\frac{1}{2}$ (a+c) * h. Daraus würde dann werden mit c = $\frac{2h * sin(90-α)}{sinα}$ + a:

A = $\frac{1}{2}$ (a+c) * h = $\frac{1}{2}$ (a+( $\frac{2h * sin(90-α)}{sinα}$ + a)) * h

= ah + $\frac{h^{2}sin(90-α)}{sinα}$.

Und dann das in der Funktion zu verwenden, wie f(a,h,α) = $\frac{a + \frac{2h}{sinα}}{A}$, damit dann auch das A da mit einbezogen wird und man den Wert der benetzten Oberfläche abhängig vom gegebenen A macht....

Würde mich über jegliche Denkanstöße freuen!!

Comments

Wie müssen Basisbreite a, Höhe h, Böschungswinkel α gewählt werden, damit der benetzte Umfang minimal wird?

.. ganz klar: $a=h$ und $\alpha = 90°$ - was sonst!

Darfst/kannst Du den Lagrange-Multiplikator verwenden? dann wird's einfach. Dann braucht es auch keinen $\sin$.

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Statt eine eigene Lösung anzubieten,wäre eine vollständige Abschrift der Aufgabe nützlicher gewesen. Was ist hier ein benetzter Umfang?

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Was ist hier ein benetzter Umfang?

Gute Frage! Ich nahm an, es ist der Umfang des Trapez. Ist aber anscheinend nicht.

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@Werner-Salomon
Es wird das Wort " Böschung " verwendet.
Dies läßt darauf schließen das die obere
Teilstrecke nicht benetzt wird.
Darauf läßt auch auf die verwendete
Formel U = a + 2b schließen.

A ( a,h,α ) auf jeden Fall aber 3 Parameter
U ( a,b )
Ich meine ein bis viel Unbekannte um zu
einer Lösung zu kommen.

@Fragesteller : stell´ mal den Fragetext als
Foto ein.

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Genau, wie @goergborn meint, es wird der Umfang ohne die obere Teilstrecke gemeint.

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Was ein benetzter Umfang ist,ist jetzt klar. Die Nebenbedingung  ist dann A=(a+h/tan(α))·h mit A konstant.

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Leider habe ich trotz intensivster Beschäftung
mit der Frage keine eindeutige Lösung gefunden.

Falls jemand eine eindeutige Lösung hat

dann bitte mitteilen.

Answer 1

So. Hat vielleicht doch noch etwas gegeben.

Ich gehe von folgenden Bezeichnern aus.

Ausgegangen bin ich von einem quadratischen Querschnit mit a = h.
Dies ist für eine Rechteckfläche die kleinste Fläche.
Ich nehme einmal dasselbe für den Umfang und ( Umfang ohne oberes
Teilstück ) auch an.
Die Fläche A soll bekannt sein. Im späteren Verlauf wird diese
konkret mit 100 angesetzt. Dann ist a = √ 100 = 10.

Das Quadrat wird nun in der Höhe nach unten gedrückt und wandelt sich
in ein Trapez.

Hier die Anfangsberechnungen

Geht gleich weiter.

Comments

rot : Eingabe ; blau : Ausgabe Programm
Zeile 1 ) : Flächeninhalt Trapez
2.) Länge Grundseite
3.) Fläche durch Ersetzung " a " = durch " √ A "
4.) t1 nach d umgestellt
5.) Formel für b als Hypotenuse
6.) A zu 100 gesetzt
7.) b als Funktion von h

Geht noch weiter

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Hier der Graph " b als Funktion von h "

Der Tiefpunkt liegt bei ca ( 7 | 9 )
Mit dem Newton-Verfahren
h = 7.071
b = 8.19

Benetzte Längen Ausgangsquerschnitt 10 + 10 + 10 = 30
Für den berechneten Querschnitt = 10 + 2 * 8.19 = 26.28

Bezogen auf a ist als Höhe zu wählen : 8.19 / 10 =0.819
h = 0.819 * a
Winkel ( innerhalb des Dreiecks b-d-h ) :
cos beta = h / b = 7.071 / 8.19 = 0.8634  => 30.3 °
alpha in der Zeichnung Fragesteller = 90 - 30.3 = 59.7 °

Für die Praxis
A ist gegeben
a ist √ A
h = 0.819 * a
Den Neigungswinkel wie oben beschrieben berechnen.