Beweisen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes: Die Abbildung f : R+ 0 → R+ 0 , f(x) = x^2 ist surjektiv.

Question

Aufgabe:

 Beweisen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes: Die Abbildung f : R+ 0 → R+ 0 , f(x) = x² ist surjektiv. (Die Injektivität folgt aus der strengen Monotonie.)  .. .

ich verstehe die frage nicht genau und weiß ich nicht wie kann man das lösen

könnten Sie bitte die Frage lösen und bisschen erklären was ist unterschied zwischen Surjektiv und bijektive und Injektive

ich wäre Dankbar

Answer 1

unterschied zwischen Surjektiv und bijektive und Injektive

Injektiv:  Wenn a ≠ b dann f(a) ≠ f(b) .

Das ist bei strenger Monotonie immer erfüllt. Kannst du aber

auch so beweisen f(a) = f(b) ==>   a = b .

surjektiv:  Bei f : ℝ_o^* →   ℝ_o^*  .

Für jedes y ∈  ℝ_o^* gibt es ein y ∈  ℝ_o^* mit f(x)=y.

Beweis mit Zwischenwertsatz könnte so gehen:

Sei y  ∈  ℝ_o^* .  Da die Folge der Quadratzahlen (n^2) _{n ∈ ℕo}

mit 0 beginnt gegen unendlich geht, gibt es zwei Möglichkeiten:

1. y ist gleich einem Folgenglied a_n, dann ist y=n^2 mit

n ∈ ℕo ⊂   ℝo*  , also y = f(n) .

2. Es gibt zwei Folgenglieder   a_n und a_n+1 zwischen denen

das y liegt, also  n^2 < y < (n+1)^2 , also

                        f(n) < y < f(n+1) .

f ist eine stetige Funktion also gibt es nach dem Zwischenwertsatz

ein x zwischen n und n+1 mit f(x) = y.

                                                                    q.e.d.

Comments

Hallo mathef,

begründet hier also die strenge Monotonie die Existenz eines solchen Elements x zwischen n und n+1 mit f(x) = y. Ich frage deshalb, da sich der Zwischenwertsatz laut Definition erstmal nur auf kompakte Intervalle anwenden lässt. Müsste man demnach nicht noch begründen, warum der Zwischenwertsatz nun auf R (abgeschlossen unbeschränkt) gilt?

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f ist doch auf dem kompakten Intervall [n ; n+1 ] stetig

und y liegt zwischen f(n) und f(n+1).

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Ah okay, klar.