Lösen von LGS mit Parameter

Question

Für welche a ∈ ℝ besitzt das lineare Gleichungssystem
genau eine, keine bzw. unendlich viele Lösungen? Berechnen Sie gegebenenfalls alle
Lösungen

a-2	1	-1	=a
0	-1	2-a	=0
0	0	a^2-4a+3	=0

 

Ich komme in der 3. Gleichung für a=1 und a=3 auf eine Nullzeile. Rechne ich dann für meine z-Koordinate mit einem Parameter "t" weiter und löse das Lgs?

Und wenn ich für a irgendwas anderes einsetze, kommt ja trotzdem immer null raus, da 0÷(Irgendwas) ja immer null ergibt.

Vielen Dank  im Voraus

Lg Matheass

Answer 1

(1) (a-2)x+y-z =a
(2) -y+ (2-a)z =0
(3) (a²-4a+3)z =0

Multipliziere (1)+(2) mit (a-3) und addiere dazu (3). Dann hast du x in Abhängigkei von a. Das in  (1) einsetzen, ergibt eine Beziehung zwischen y und z. Damit weiter arbeiten und am Schluss über genau eine, keine bzw. unendlich viele Lösungen nachdenken.

Comments

In der1. Zeile muss es +y lauten, oder?

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Stimmt. Habe ich korrigiert.

Answer 2

Ich würde hier das Verfahren über die Determinanten benutzen.

Warum lassen sich die Determinanten hier ohne Probleme recht einfach bestimmen?

Siehe dazu auch:

https://de.wikibooks.org/wiki/MathGymOS/_LGS/_Das_Determinanten-Verfahren

Comments

A = DET([a - 2, 1, -1; 0, -1, 2 - a; 0, 0, a^2 - 4·a + 3]) = (1 - a)·(a - 2)·(a - 3)

A1 = DET([a, 1, -1; 0, -1, 2 - a; 0, 0, a^2 - 4·a + 3]) = a·(1 - a)·(a - 3)

A2 = DET([a - 2, a, -1; 0, 0, 2 - a; 0, 0, a^2 - 4·a + 3]) = 0

A3 = DET([a - 2, 1, a; 0, -1, 0; 0, 0, 0]) = 0

Eindeutige Lösung für a ∉ {1, 2, 3}

x = a / (a - 2) ∧ y = 0 ∧ z = 0

Keine Lösung für a = 2

Unendlich viele Lösungen für a = 1

x = -1 ∧ y = z

Unendlich viele Lösungen für a = 3

x = 2·z + 3 ∧ y = -z